27
Jun
威力巨大的“有向线段”
By 苏剑林 | 2010-06-27 | 20328位读者 | 引用
15
Jul
《向量》系列——1.向心力公式证明
By 苏剑林 | 2010-07-15 | 57749位读者 | 引用向量在几何和物理中都有极其重要的作用，现在就让我们来看如何用向量研究物理中的圆周运动。
首先我们必须了解一些基础：
1.在向量中，只要一条“向径”($\vec{r}$)就可以描述出物体的运动，而不需要建立坐标系。这就是向量应用于物理的原因：物理定律不应该依赖于坐标系，而向量恰恰也不依赖于坐标系！
2.牛顿第二定律：$\vec{F}=m\vec{a}$
3.以及一些向量的微积分运算等（可以查阅维基百科或者相关资料）
在下面及以后的文章描述中，为了大家的阅读方便，把向量写成$\vec{r}$的形式，而非把字母加粗。一般情况下，在本站的描述中，有$|\vec{r}|=r,|\dot{\vec{r}}|=v,|\ddot{\vec{r}}|=a$。但是，$\dot{r}=\frac{d|\vec{r}|}{dt} != |\dot{\vec{r}}|$
18
Jul
《向量》系列——2.曲率半径
By 苏剑林 | 2010-07-18 | 54904位读者 | 引用圆周是如此地和谐与完美，致使数学家和物理学家对它钟爱有加。几何上可以把一条曲线的局部看做一个圆弧，利用圆的性质去研究它（在数学上，曲率半径的倒数就是曲率，曲率越大，曲线越弯曲）；物理学家喜欢把一个质点的曲线运动轨迹的局部看做圆周运动，利用圆周运动的方法来描述这种运动。这两种研究方法都告诉了我们，两种不同的“线”在极小的范围内可以等效的，这也为我们对科学进行探究提供了一点指导思想：把未知变已知，以已知看未知。物理学和数学的两种处理方法中，有一点是殊途同归的：那就是看轨迹看成一个圆后，圆的半径是多少？我们首先得求出它。
在数学分析上可以利用微积分的相关知识来推导曲率半径公式，而BoJone则更偏爱物理方法，通过物理和向量知识的结合，推导出曲率半径公式，让BoJone感到“别有一番风味”。
15
Aug
《方程与宇宙》:拉格朗日点的点点滴滴(四)
By 苏剑林 | 2010-08-15 | 92334位读者 | 引用The New Calculation Of Lagrangian Point 1,2,3
L2_rendering
关于n体问题，选择质心或其他定点为参考点，我们可以列出下面的运动方程：
$$\ddot{\vec{r}}_k=\sum_{i=1,i != k}^{n} Gm_i\frac{\vec{r}_i-\vec{r}_k}{|\vec{r}_i-\vec{r}_k|^3}\tag{19}$$
现在我们只考虑三体问题。天文学家一直希望能够找到三体问题的简洁解，可是很遗憾，庞加莱已经证明了三体问题的解是混沌的，也就是说任何微小的扰动都有可能造成不可预料的后果（可以形象的比喻为：巴西的一只蝴蝶翅膀的扇动，有可能因此美国的一场龙卷风）。
16
Aug
《方程与宇宙》:拉格朗日点,复数,向量(五)
By 苏剑林 | 2010-08-16 | 51551位读者 | 引用The New Calculation Of Lagrangian Point 4,5
上一回我们已经求出了拉格朗日点L1,L2,L3，并且希望能够求出L4,L5两个点。由于L4,L5与“地球-太阳”连线已经不共线了，所以前边的方法貌似不能够用了。为了得到一个通用的定义，我们可以采用以下方法来描述拉格朗日点：位于拉格朗日点的天体，它与太阳的连线以及地球与太阳的连线所组成的角的大小是恒定的。（这里为了方便，采用了地日系的拉格朗日点来描述，对于一般的三体问题是一样的）
对于L4,L5来说，我们或许可以设置一个新的向量来描述这两点的向径（如$\vec{R}$）。当我们这样做后，很快就会发现这样会令我们的计算走向死胡同。因为我们发现：已知两个向量的夹角和其中一个向量，我们很难把另一个向量用已知向量的式子表达出来。不能做到这一点，就不能找出$\vec{R}$与$\vec{r}$的关系，就无法联立方程求解。难道，我们这一条路走到尽头了吗？一开始BoJone也冥思苦想不得头绪，但是...
23
Aug
《向量》系列——4.天旋地转(向量,复数,极坐标)
By 苏剑林 | 2010-08-23 | 39465位读者 | 引用
27
Aug
与向量的渊源极深的四元数
By 苏剑林 | 2010-08-27 | 32615位读者 | 引用当我们在使用向量进行几何、物理研究的时候，是否曾经想到：向量竟然起源于“数”？
当向量还没有发展起来的时候（虽然“有方向有大小的量”很早就被人们认识），复数已经得到了认可并且有了初步应用。当我们把复数跟向量联系起来时，我们也许会认为，因为复平面表示的复数运算与向量有着相似之处，才把复数跟几何联系起来。然而事实却相反，向量是从对复数乃至一种称为“四元数”的东西的研究中逐渐分离出来的。换句话说，历史中出现过“四元数”与向量分别研究几何的阶段，麦克斯韦(Maxwell) 将四元 数的数量部分和矢量部分分开，作为 实 体处理，作了大量的矢量分析。三维矢量分析的建立，及同四元数的正式分裂是18世纪80年代由Gibbs和Heaviside独立完成的。矢量代数被推广到矢量函数和矢量微积分，由此开始了四元数和矢量分析的争论，最终矢量分析占了上风。因而“四元数”渐渐离开了教科书。不过，“四元数”的一些特殊而巧妙的应用，仍然使我们不至于忘记它。
7
Nov
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