科学空间|Scientific Spaces

这篇文章源于《新科学家》2010年8月7日刊，它介绍了物理学家Horava为了统一相对论和量子力学，把广义相对论的时空联系割裂的尝试。在相对论中，时间和空间结合成了不可分割的整体。而现在，有物理学家却要把时间与空间分开，来建立让广义相对论和量子力学相调和的统一理论。我对这个理论挺感兴趣的，当然，我还没有能力弄懂它。只是它符合了我们大多数人的一个直觉，就是时间总有跟空间不同的地方，它们之间不应该完全等同起来。不过，事实如何，只有未来的实验能够严重了。

本文并没有官方的中文译文，现载的译文来自“译言网”。译文有一些翻译不大正当的地方，由于时间限制，无法一一修正，但是我觉得对于理解本文内容已经足够了。如果有疑问，不妨参考后边的英文原文，并在此提出与大家讨论。

对爱因斯坦的反思：空间-时间耦合的物理数学的终结

纠结于融合引力和量子力学的物理学家们正向着一个受到铅笔芯启发的理论欢呼雀跃，这个理论可以很简单地让他们取得成功。

它曾是一个改变了我们思考空间和时间的方式的报告。那一年是1908年，德国数学家赫尔曼-闵可夫斯基正尝试着理解爱因斯坦火热的新思想——即我们现在所熟知的狭义相对论，它描述当物质运动很快时它们是如何收缩以及时间是如何扭曲的。“从此独立的空间和时间将注定淡出到纯粹的虚幻中，”闵可夫斯基说道：“而只有两者的统一才能保证一个独立的现实世界。”

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我现在是越来越佩服爱因斯坦了，他的相对论是他天才的思想的充分体现。只有当相对论提出之后，宏观物理的大多数现象和规律才得到了统一的描述。狭义相对论中爱因斯坦对我们速度叠加常识的否定已经显示了他莫大的勇气，而一项头脑风暴性的工作——广义相对论则将他惊人的创造力体现得完美无瑕。我是被量子力学的数学吸引的，于相对论则是被相对论美妙的逻辑体系吸引。当然，其中也有相当美妙的数学。

狭义相对论中的核心内容之一就是被称为洛仑兹变换的东西，这在相对论发表之前已经由洛仑兹推导出来了，只不过他不承认他的物理意义，也就没有就此进行一次物理革命，革命的任务则由爱因斯坦完成。很久前我就已经看过洛仑兹变换的推导，那是直接设一种线性关系来求解的。但是我总感觉那样的推导不够清晰（也许是我的理解方式有问题吧），而且没有说明狭义相对论的两条原理如何体现出现。所以在研究过矩阵之后，我就尝试用矩阵来推导洛仑兹变换，发现效果挺好的，而且我觉得能够体现出相对论中的对称性。

两条原理

1、狭义相对性原理：在所有惯性系中，物理定律有相同的表达形式。这是力学相对性原理的推广，它适用于一切物理定律，其本质是所有惯性系平权。

2、光速不变原理：所有惯性系中，真空中的光速都等于c=299 792 458 m/s，与光源运动无关。迈克耳孙-莫雷实验是其有力证明。

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我们之前通过矩阵变换方式推导出了洛伦兹变换以及速度合成公式等结论，不得不说，矩阵推导方式有种引人入胜的魅力。今天，在讲述相对论（包括电动力学、广义相对论）的书籍里边，在数学形式上取而代之了张量这一工具，这实际上是对矩阵的一个推广（之前已经提到过，二阶张量相当于矩阵）。采用这样的形式在于它充分体现了相对论的对称和变换关系。本文将来谈及狭义相对论的一些基本结论，包括同时性、长度收缩、时间延缓等。

本文的光速$c=1$。

同时的相对性

在同一时空中，采取两个时空坐标进行洛伦兹变换，再作差，我们得到：
\begin{equation}\left[\begin{array}{c} \Delta x\\ \Delta t \end{array}\right]=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}\left[\begin{array}{c c}1 & v\\ v & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\Delta x'\\ \Delta t' \end{array}\right]\end{equation}

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上一篇文章里我已经从我自己的理解角度简单说了一下场论的必要性，这次让我们再次谈到这个话题，企图在文字层面上得到更深入的认识。

上一两周的时间，我一直在找资料，主要是线性引力的资料，并且发现了很多有趣的东西，在此一并与大家分享一下。首先，当我在Google中输入“线性引力”时，我发现了一本“奇书”，一本名副其实的“巨著”——《引力论》！洋洋1300多页的大作，三位“超级巨星”——C.W.麦思纳（Charles W.Misner）、K.S.索恩（Kip S.Thorne）、J.A.惠勒（John Archibald Wheeler）——联合编写，恐怕再也找不到哪本书可以PK它的“全明星阵容”了。该书英文名为Gravitation，中文是由台湾翻译的，繁体中文版。全书讲述了引力的研究历史和发展情况，更重要的是几乎每一处历史都给出了数学论证！最最重要的，作者惠勒还是跟爱因斯坦同一个研究时代的人，我们可以最真实的感受到那年代的研究。看到这里，我就迫不及待地想买了，由于各种原因，我们很难买到，到图书馆找，发现有英文版的，就马上借过来了，另外因为买不到中文版，我只好到网上买了电子版，然后打印出来了。不过不是很清晰，而且自我感觉中文翻译不是很好（当然，已经够我们阅读了）。

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在上一篇文章中我们得到了第23题的解，本来想接着类似地求第24题，但是看着23题的答案，又好像发现了一些新的东西，故没有继续写下去。等到今天在课堂上花了一节课研究了一下之后，得到了关于这种拟齐次微分方程的一些新的结果，遂另开一篇新文章，与大家分享。

一、特殊拟齐次微分方程的通解

在上一篇文章中，我们求出了拟齐次微分方程$\frac{dy}{dx}=x+\frac{x^3}{y}$的解：
$$(2y+x^2)(x^2-y)^2=C$$
或者写成这样的形式：
$$(y+\frac{1}{2} x^2)(y-x^2)^2=C$$

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写在前头

经过两年多的开发，本站所用的Typecho终于发布了新版，虽然还是beta，但是我还是迫不及待地升级了。当然，前台并没有变化，但是几乎整个程序都是重构了的，后台也更加清爽了。本文是新版程度的第一篇文章，使用Markdowm语法编写。

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牛顿Vs胡克

在所有的力学系统中，最简单的或许就是简谐运动了。它由一个最简单的常系数线性微分方程组描述：
$$\ddot{\boldsymbol{x}}+\omega^2 \boldsymbol{x}=0$$

这也就是物体在弹性形变的胡克定律所描述的力的作用下的运动情况。我们可以很快用三角函数写出该方程的精确解。相比之下，二体问题的解就复杂多了，虽然二体问题也是精确可解的，但是显然没有简谐运动那样简单明了。然而，除了都是有心力之外，它们之间还有一个共同点，它们的运动轨道都是椭圆！（严格来说是圆锥曲线，因为还可能有抛物线跟双曲线，但是不失一般性，本文只分析椭圆轨道）两者之间是否存在着某种联系呢？如果可以将二体问题转变为简谐运动，那么分析过程应该可以大大化简了？

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如果仅仅从牛顿第二定律的角度来进行变换推导，那么关于力学定律的对偶性的结果无疑仅仅是初等的。对于理论分析来说，更方便的是从做小作用量原理的形式出发，事实上，这种形式计算量也是很少的，甚至比直接代入运动方程变换更加便捷。

上一篇文章中我们讲到，变换$z \mapsto z^2$将一个原点为几何中心的椭圆映射为一个原点为焦点的椭圆，并且相信这种变换可以将胡克定律跟牛顿万有引力定律联系起来。然后就立即给出了变换$w=z^2,d\tau=|z^2|dt$。但是这个变换本身并不显然的，假如我们仅仅发现了$z \mapsto z^2$的几何意义，如何相应地得出$d\tau=|z^2|dt$这个变换呢？本文初步地解决这个问题。

几何作用量

让我们回顾力学的最小作用量原理：
$$ S = \int_{{t_1}}^{{t_2}} L dt = \int_{{t_1}}^{{t_2}} {(T - U)} dt $$

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在上一篇文章中，我已经初步地从最小作用量原理的角度来观察对偶定律的表现。虽然那是一种便捷有效的方法，但是还是给我们流下了一些遗憾。上一节是从几何形式的作用量原理出发的，而没有在一般形式的作用量框架下讨论。因为如果在$S=\int Ldt=\int (T-U)dt$的形式下讨论坐标变换问题会出现困难，困难源于我们进行了变换$d\tau=|z|^2 dt$，这导致了时间和空间的耦合，变分不能简单地进行。但是，这并非无法解决的问题。我们还是可以在基本的作用量原理之下讨论变换问题。下面将对此问题进行讨论。

变分中的变量代换

考虑一个一般的保守系统的作用量：
$$S=\int_{t_1}^{t_2} L(q,\frac{dq}{dt})dt$$

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