科学空间|Scientific Spaces

众所周知，分类任务的标准损失是交叉熵（Cross Entropy，等价于最大似然MLE，即Maximum Likelihood Estimation），它有着简单高效的特点，但在某些场景下也暴露出一些问题，如偏离评价指标、过度自信等，相应的改进工作也有很多，此前我们也介绍过一些，比如《再谈类别不平衡问题：调节权重与魔改Loss的对比联系》、《如何训练你的准确率？》、《缓解交叉熵过度自信的一个简明方案》等。由于LLM的训练也可以理解为逐token的分类任务，默认损失也是交叉熵，因此这些改进工作在LLM流行的今天依然有一定的价值。

在这篇文章中，我们介绍一篇名为《EMO: Earth Mover Distance Optimization for Auto-Regressive Language Modeling》的工作，它基于最优传输思想提出了新的改进损失函数EMO，声称能大幅提高LLM的微调效果。其中细节如何？让我们一探究竟。

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我们知道，Scaled Dot-Product Attention的Scale因子是$\frac{1}{\sqrt{d}}$，其中$d$是$\boldsymbol{q},\boldsymbol{k}$的维度。这个Scale因子的一般解释是：如果不除以$\sqrt{d}$，那么初始的Attention就会很接近one hot分布，这会造成梯度消失，导致模型训练不起来。然而，可以证明的是，当Scale等于0时同样也会有梯度消失问题，这也就是说Scale太大太小都不行。

那么多大的Scale才适合呢？$\frac{1}{\sqrt{d}}$是最佳的Scale了吗？本文试图从梯度角度来回答这个问题。

已有结果

在《浅谈Transformer的初始化、参数化与标准化》中，我们已经推导过标准的Scale因子$\frac{1}{\sqrt{d}}$，推导的思路很简单，假设初始阶段$\boldsymbol{q},\boldsymbol{k}\in\mathbb{R}^d$都采样自“均值为0、方差为1”的分布，那么可以算得
\begin{equation}\mathbb{V}ar[\boldsymbol{q}\cdot\boldsymbol{k}] = d\end{equation}

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在文章《随机分词浅探：从Viterbi Decoding到Viterbi Sampling》中，笔者提出了一种名为“Viterbi Sampling”的随机分词算法，它只是在求最优解的Viterbi Decoding基础上进行小修改，保留了Viterbi算法的简单快速的特点，相比于已有的Subword Regularization明显更加高效。不过，知乎上的读者 @鶴舞 指出，当前的采样算法可能会在多次二选一“稀释”了部分方案的出现概率，直接后果是原本分数最高的切分并不是以最高概率出现。

经过仔细思考后，笔者发现相应的问题确实存在，当时为了尽快得到一种新的采样算法，在细节上的思考和处理确实比较粗糙。为此，本文将进一步完善Viterbi Sampling算法，并证明完善后的算法在效果上可以跟Subword Regularization等价的。

问题分析

首先，我们来看一下评论原话：

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Efficient Transformer，泛指一切致力于降低Transformer的二次复杂度的工作，开始特指针对Attention的改进，后来更一般的思路，如傅里叶变换、线性RNN等，也被归入这个范畴。不得不说，为了降低Transformer的二次复杂度，各路大牛可谓是“八仙过海，各显神通”，各种神奇的思路“百花齐放”，笔者也从中学习到了不少理论知识。然而，尽管Efficient Transformer在理论上是精彩的，但实际上该领域一直都是不愠不火的状态，并没有实际表现十分出色的模型，在LLM火爆的今天，甚至已经逐渐淡出了大家的视野，也淡出了笔者的兴趣范围。

不过，最近有一篇论文《Transformer-VQ: Linear-Time Transformers via Vector Quantization》，却让笔者为之拍案叫绝。作者非常高明地洞察到，只需要对标准Attention的Key做一下VQ（Vector Quantize），复杂度就会自动降低为线性！这种线性化思路保留了标准Attention的形式，是标准Attention到线性Attention的一个完美过渡，同时最大程度上保留了标准Attention的能力。

高效难题

说起来，本站也算是比较早关注Efficient Transformer相关工作了，最早可以追溯到2019年解读Sparse Transformer的一篇博客《为节约而生：从标准Attention到稀疏Attention》。此后，陆续写的关于Efficient Transformer的其他博文还有

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正如“XXX is all you need”一样，有不少论文都以“简单得令人尴尬”命名（An Embarrassingly Simple XXX），但在笔者看来，这些论文大多数都是噱头多于实力。不过，笔者最近阅读到的一篇论文，真的让人不由得发出“简单得令人尴尬”的感叹～

论文的标题是《Finite Scalar Quantization: VQ-VAE Made Simple》，顾名思义，这是一篇旨在用FSQ（Finite Scalar Quantization）简化VQ-VAE的工作。随着生成模型、多模态LLM的逐渐流行，VQ-VAE及其后续工作也作为“图像的Tokenizer”而“水涨船高”。然而，VQ-VAE的训练本身也存在一些问题，而FSQ这篇论文则声称通过更简单的“四舍五入”就可以达到同样的目的，并且有着效果更好、收敛更快、训练更稳的优点。

FSQ真有这么神奇？接下来我们一起学习一下。

VQ

首先，我们来了解一下“VQ”。VQ全称是“Vector Quantize”，可以翻译为“向量量子化”或者“向量量化”，是指将无限、连续的编码向量映射为有限、离散的整数数字的一种技术。如果我们将VQ应用在自编码器的中间层，那么可以在压缩输入大小的同时，让编码结果成为一个离散的整数序列。

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在生成扩散模型的发展史上，DDIM和同期Song Yang的扩散SDE都称得上是里程碑式的工作，因为它们建立起了扩散模型与随机微分方程（SDE）、常微分方程（ODE）这两个数学领域的紧密联系，从而允许我们可以利用SDE、ODE已有的各种数学工具来对分析、求解和拓展扩散模型，比如后续大量的加速采样工作都以此为基础，可以说这打开了生成扩散模型的一个全新视角。

本文我们聚焦于ODE。在本系列的（六）、（十二）、（十四）、（十五）、（十七）等博客中，我们已经推导过ODE与扩散模型的联系，本文则对扩散ODE的采样加速做简单介绍，并重点介绍一种巧妙地利用“中值定理”思想的新颖采样加速方案“AMED”。

欧拉方法

正如前面所说，我们已经有多篇文章推导过扩散模型与ODE的联系，所以这里不重复介绍，而是直接将扩散ODE的采样定义为如下ODE的求解：
\begin{equation}\frac{d\boldsymbol{x}_t}{dt} = \boldsymbol{v}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t)\label{eq:dm-ode}\end{equation}

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写在开头

一直以来，笔者都有日刷Arxiv的习惯，以求尽可能跟上领域内最新成果，并告诫自己“不进则退”。之前也有不少读者问我是怎么刷Arxiv的、有什么辅助工具等，但事实上，在很长的时间里，笔者都是直接刷Arxiv官网，并且没有用任何算法过滤，都是自己一篇篇过的。这个过程很枯燥，但并非不能接受，之所以不用算法初筛，主要还是担心算法漏召，毕竟“刷”就是为了追新，一旦算法漏召就“错失先机”了。

自从Kimi Chat发布后，笔者就一直计划着写一个辅助网站结合Kimi来加速刷论文的过程。最近几个星期稍微闲了一点，于是在GPT4、Kimi的帮助下，初步写成了这个网站，并且经过几天的测试和优化后，已经逐步趋于稳定，于是正式邀请读者试用。

Cool Papers：https://papers.cool

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在分析模型的参数时，有些情况下我们会将模型的所有参数当成一个整体的向量，有些情况下我们则会将不同的参数拆开来看。比如，一个7B大小的LLAMA模型所拥有的70亿参数量，有时候我们会将它当成“一个70亿维的向量”，有时候我们会按照模型的实现方式将它看成“数百个不同维度的向量”，最极端的情况下，我们也会将它看成是“七十亿个1维向量”。既然有不同的看待方式，那么当我们要算一些统计指标时，也就会有不同的计算方式，即局部计算和全局计算，这引出了局部计算的指标与全局计算的指标有何关联的问题。

本文我们关心两个向量的余弦相似度。如果两个大向量的维度被拆成了若干组，同一组对应的子向量余弦相似度都很大，那么两个大向量的余弦相似度是否一定就大呢？答案是否定的。特别地，这还跟著名的“辛普森悖论”有关。

问题背景

这个问题源于笔者对优化器的参数增量导致的损失函数变化量的分析。具体来说，假设优化器的更新规则是：
\begin{equation}\boldsymbol{\theta}_{t+1} = \boldsymbol{\theta}_t - \eta_t \boldsymbol{u}_t\end{equation}

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