科学空间|Scientific Spaces

这篇文章估计是这个系列最后一篇了，也许以后会继续谈到线性代数，但是将会独立开来讲述。本文主要讲的是相似矩阵的一些事情，本文的观点很是粗糙，自己感觉都有点模糊，因此请读者细细阅读。在孟岩的文章里头，它对矩阵及其相似有了一个非常精彩的描述：

“矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述。在一个线性空间中，只要我们选定一组基，那么对于任何一个线性变换，都能够用一个确定的矩阵来加以描述。”

同样的，对于一个线性变换，只要你选定一组基，那么就可以找到一个矩阵来描述这个线性变换。换一组基，就得到一个不同的矩阵。所有这些矩阵都是这同一个线性变换的描述，但又都不是线性变换本身。

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在文章《新理解矩阵3》：行列式的点滴中，笔者首次谈及到了行列式的几何意义，它代表了n维的“平行多面体”的“体积”。然而，这篇文章写于我初学矩阵之时，有些论述并不严谨，甚至有些错误。最近笔者在写期末论文的时候，研究了超复数的相关内容，而行列式的几何意义在我的超复数研究中具有重要作用，因此把行列式的几何意义重新研究了一翻，修正了部分错误，故发此文，与大家分享。

一个$n$阶矩阵$A$可以看成是$n$个$n$维列向量$\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,...,\boldsymbol{x}_n$的集合
$$A=(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\dots,\boldsymbol{x}_n)$$
从代数的角度来看，这构成了一个矩阵；从几何的角度来看，这$n$个向量可以建立一个平行$n$维体。比如：平行四边形就是“平行二维体”，平行六面体就是“平行三维体”，高阶的只需要相应类比，不需要真正想象出高维空间的立体是什么样。

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前边我承诺过会写一些关于自己对矩阵的理解。其实孟岩在《理解矩阵》这三篇文章中，已经用一种很直观的方法告诉了我们有关矩阵以及线性代数的一些性质和思想。而我对矩阵的理解，大多数也是来源于他的文章。当然，为了更好地理解线性代数，我还阅读了很多相关书籍，以求得到一种符合直觉的理解方式。孟岩的blog已经很久没有更新了，在此谨引用他的标题，来叙述我对矩阵的理解。

当然，我不打算追求那些空间、算子那些高抽象性的问题，我只是想发表一下自己对线性代数中一些常用工具的看法，比如说矩阵、行列式等。同时，文章命名为“理解矩阵”，也就是说这不是矩阵入门教程，而是与已经有一定的线性代数基础的读者一起探讨关于矩阵的其他理解方式，仅此而已。我估计基本上学过线性代数的读者都能够读懂这篇文章。

首先，我们不禁要追溯一个本源问题：矩阵是什么？

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上一篇文章中我从纯代数运算的角度来讲述了我对矩阵的一个理解，可以看到，我们赋予了矩阵相应的运算法则，它就在代数、分析等领域显示出了巨大作用。但是纯粹的代数是不足够的，要想更加完美，最好是找到相应的几何对象能够与之对应，只有这样，我们才能够直观地理解它，以达到得心应手的效果。

几何理解

我假设读者已经看过孟岩的《理解矩阵》三篇文章，所以更多的细节我就不重复了。我们知道，矩阵A

$$\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}$$

事实上由两个向量$[a_{11},a_{21}]^T$和$[a_{12},a_{22}]^T$（这里的向量都是列向量）组成，它描述了一个平面（仿射）坐标系。换句话说，这两个向量其实是这个坐标系的两个基，而运算$y=Ax$则是告诉我们，在$A$这个坐标系下的x向量，在$I$坐标系下是怎样的。这里的$I$坐标系就是我们最常用的直角坐标系，也就是说，任何向量（包括矩阵里边的向量），只要它前面没有矩阵作用于它，那么它都是在直角坐标系下度量出来的。

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本文的最新版本位于：http://kexue.fm/archives/2208/

亲爱的读者朋友们，科学空间版的理解矩阵已经来到了BoJone认为是最激动人心的部分了，那就是关于行列式的叙述。这部分内容没有在孟岩的文章中被谈及到，是我自己结合了一些书籍和网络资源而得出的一些看法。其中最主要的书籍是《数学桥》，而追本溯源，促进我研究这方面的内容的是matrix67的那篇《教材应该怎么写》。本文包含了相当多的直观理解内容，在我看来，这部分内容也许不是正统的观点，但是至少在某种程度上能够促进我们对线性代数的理解。

大多数线性代数引入行列式的方式都是通过讲解线性方程组的，这种方式能够让学生很快地掌握它的计算，以及给出了一个最实际的应用（就是解方程组啦）。但是这很容易让读者走进一个误区，让他们认为线性代数就是研究解方程组的。这样并不能让读者真正理解到它的本质，而只有当我们对它有了一个直观熟练的感觉，我们才能很好地运用它。

行列式的出现其实是为了判断一个矩阵是否可逆的，它通过某些方式构造出一个“相对简单”的函数来达到这个目的，这个函数就是矩阵的行列式。让我们来反思一下，矩阵可逆意味着什么呢？之前已经提到过，矩阵是从一个点到另外一个点的变换，那么逆矩阵很显然就是为了把它变换回来。我们还说过，“运动是相对的”，点的变换又可以用坐标系的变换来实现。但是，按照我们的直觉，不同的坐标系除了有那些运算上的复杂度不同（比如一般的仿射坐标系计算点积比直角坐标系复杂）之外，不应该有其他的不同了，用物理的语言说，就是一切坐标系都是平权的。那么给出一个坐标系，可以自然地变换到另外一个坐标系，也可以自然地将它变换回来。既然矩阵是这种坐标系的一个描述，那么矩阵不可逆的唯一可能性就是：

这个$n$阶矩阵的$n$个列向量根本就构不成一个$n$维空间的坐标系。

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学过线性代数的朋友都知道，方阵和非方阵的一个明显不同是，对于方阵我们可以计算它的行列式，如果不是方阵的话，就没有行列式这个概念了。在追求统一和谐的数学系统中，为什么非方阵却没有行列式？也许对于这个问题最恰当的回答是——因为不够美。对于非方阵，其实也可以类似地定义它的行列式，定义出来的东西，跟方阵的行列式具有同样的性质，比如某行乘上一个常数，行列式值也就乘以一个常数，等等；而且还可以把其几何意义保留下来。但是，非方阵的行列式是不够美的，因为对于一个一般的整数元素的方阵，我们的行列式是一个整数；而对于一个一般的整数元素的非方阵，却导致了一个无理数的行列式值。另外，一个也比较重要的原因是，单单是方阵的行列式也够用了。综合以上两个理由，非方阵的行列式就被舍弃不用了。

非方阵的行列式不够漂亮

$n$阶方阵的行列式是每个向量的线性函数，它代表着向量之间的线性相关性；从几何上来讲，它就是向量组成的平行n维体的（有向）体积。我们当然期望非方阵的行列式也保留这些性质，因为只有这样，方阵行列式的那些运算性质才得以保留，比如上面说的，行列式的一行乘上一个常数，行列式值也乘上一个常数。我们考虑$m\times n$的矩阵，其中$ m < n $，我们将它看成是$m$个$n$维向量的组合。最简单的，我们先考虑$1\times 2$矩阵的行列式，也就是二维向量$(a,b)$的行列式。

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数学演算

之前已经提到我要自学相对论和量子力学。作为现代物理的两大支柱，所用的数学也是很“现代”的，不能总是用高中那套简单的模式来计算，所以线性代数是我要熟悉的一门课程之一。现在大一还没开设线性代数课程，但是我所持的观点是：“任何东西只要你需要它，你就应该去学，而且能够学会。”其实我初三暑假的时候就开始接触了线性代数，我看的那本教材，跟国内其他线性代数教材一样，采用了一种只要求记忆和计算的方式来教授，先讲从线性方程组引出行列式，再到矩阵。我那时也在背诵，知道了了行列式怎么算的，行列式可以用来解方程组，矩阵是怎么相乘的等等。但我完全不知道为什么，我甚至不懂为什么这门课程叫“线性代数”。（当然，也有可能是那时的数学水平不够）国外很多教程都讲的很好，很规范地教，但是对于国内像我这样平庸的学生又显得过于专业。我一直期待有这样的一个平衡点，可惜一直没有找到，所以只能从各种渠道摸索。

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一个月没更新了，这个月花了不少时间在黎曼几何的理解方面，有一些体会，与大家分享。记得当初孟岩写的《理解矩阵》，和笔者所写的《新理解矩阵》，读者反响都挺不错的，这次沿用了这个名称，称之为《理解黎曼几何》。

生活在二维空间的蚂蚁

黎曼几何是研究内蕴几何的几何分支。通俗来讲，就是我们可能生活在弯曲的空间中，比如一只生活在二维球面的蚂蚁，作为生活在弯曲空间中的个体，我们并没有足够多的智慧去把我们的弯曲嵌入到更高维的空间中去研究，就好比蚂蚁只懂得在球面上爬，不能从“三维空间的曲面”这一观点来认识球面，因为球面就是它们的世界。因此，我们就有了内蕴几何，它告诉我们，即便是身处弯曲空间中，我们依旧能够测量长度、面积、体积等，我们依旧能够算微分、积分，甚至我们能够发现我们的空间是弯曲的！也就是说，身处球面的蚂蚁，只要有足够的智慧，它们就能发现曲面是弯曲的——跟哥伦布环球航行那样——它们朝着一个方向走，最终却回到了起点，这就可以断定它们自身所处的空间必然是弯曲的——这个发现不需要用到三维空间的知识。

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