《方程与宇宙》:限制性三体的那些事儿(八)
By 苏剑林 | 2011-02-04 | 21185位读者 | 引用在上一些关于限制性三体问题的探讨中,我们得出了在平面上的方程:
$$\ddot{R}+2i\omega \dot{R}=\omega^2 R-GM\frac{R-l_1}{|R-l_1|^3}-Gm\frac{R-l_2}{|R-l_2|^3}\tag{32}$$
能量积分为:
$$\frac{1}{2}|\dot{R}|^2=\frac{1}{2} \omega^2 |R|^2+\frac{GM}{|R-l_1|}+\frac{Gm}{|R-l_2|}-C\tag{33}$$
下面就以这两个方程为基础,再说说限制性三体问题的那些事儿...
科学空间:2011年6月重要天象
By 苏剑林 | 2011-05-28 | 22965位读者 | 引用科学空间:2011年3月重要天象
By 苏剑林 | 2011-03-05 | 26001位读者 | 引用几颗经典行星,将成为3月星空剧场的主角。其中难得一见的水星将迎来一次观测条件很好的东大距,而到了下旬,土星也几乎整夜可见。随着落下时间的逐渐提前,木星的观测条件正逐渐变差。作为晨星的金星升起的时间也正不断推迟,我们将越来越难观测到它的身影。
天象大观
01日 11:40 金星合月: 1.7° S
11日 12:35 月合昴宿星团: 1.8° N
16日 04:16 水星合木星: 2° N
21日 07:21 春分
21日 19:00 月合角宿一: 2.5° N
21日 19:54 天王星合日
23日 08:59 水星大距: 18.6° E
31日 21:25 金星合月: 6.6° S
科学空间:2011年4月重要天象
By 苏剑林 | 2011-04-04 | 23058位读者 | 引用我们在研究地球附近的小天体运动时,如果把天体和地球看作一个二体系统,那最多只能算上一个零级近似,如果使用“地球+月球+小天体”组成的圆形限制性三体问题模型,那可以算上一个二级近似了。那么,一级近似又是什么了。BoJone认为,它就是本文将要讲的“双固定引力中心问题”了,也叫“双不动中心问题”,英文名是two fixed-center problem。这是一种特殊的限制性三体问题。在这个三体系统中,两个主天体(或称有限质量天体)固定不动,第三个小天体在两个固定的主天体吸引下运动。欧拉、拉格朗日、勒让德、雅可比等人很早就研究过这个问题。其中,欧拉最先成功地求出了这个系统的积分。[引用]
另外,双固定引力中心问题还有另外一个应用,在研究人造卫星的运动时,可以只考虑地球引力,但是由于地球不是完美的球体,把其看成一个质点其实不十分精确,要是把它拆分为两个引力源,就可以很大程度上提高精确度。毕竟双固定引力中心问题是完全可以积分的,可以作为一个比较好的中间轨道(介乎圆锥曲线和精确轨道之间的)。
看完了“双不动中心”问题,我们不妨再来看一个貌似简单一点的力学问题,在一个固定质点的引力吸引的基础上,增加一个恒力作用,研究这样的力场中小天体的运动。
咋看上去这个问题比“双不动中心”简单多了,至少运动方程也显得更简单:
$$\ddot{vec{r}}=-GM\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|^3}+\vec{F}$$
其中$\vec{F}$是一个常向量。不过让人比较意外的是,这个问题本质上和“双不动中心”是一样的,它可以看作是双不动中心问题的一个极限情况。而且它们的解法也是惊人地相似,下面我们就来分析这一个过程。
首先很容易写出这个方程的能量守恒积分:
$$1/2 \dot{vec{r}}^2-GM\frac{1}{|\vec{r}|}-\vec{F}\cdot \vec{r}=h$$
科学空间:2011年7月重要天象
By 苏剑林 | 2011-07-06 | 19919位读者 | 引用均匀球状星团内恒星的运动
By 苏剑林 | 2011-07-08 | 15136位读者 | 引用我们考虑一个球状的星团,并假设它是各向同性的,即距离球心r处的物质密度ρ只与r有关,ρ=ρ(r)。那么,在半径为r的球形区域内的总质量为:
$$M(r)=\int_0^r 4\pi x^2 \rho(x) dx$$
想象有一颗质量比较小的恒星(其实相对于星团总质量,每一颗恒星的质量都很小)在星团的引力作用下运动(就好像太阳系绕着银河系运动一样),且恒星并没有受到其他物质(如星际尘埃等)的阻力。我们之前已经证明过,各向同性的球壳内部的引力是为0的,那么这种情况下的运动就相当于恒星只受到它到球心处的一个球形区域内的质量的引力吸引。根据万有引力定律,选择星团球心为参考系,可以得出
$$\ddot{\vec{r}}=-GM(r)\frac{\vec{r}}{r^3}$$
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