4 Apr

变分与理论力学略览

拉格朗日

拉格朗日

BoJone在之前的《自然极值》系列已经花了一定篇幅来讲述“极值”在自然界中是多么的普遍,它能够引导我们进行某些问题的思考,从而获得简单快捷的解答。接下来,我要说的一个更加令人惊讶的“事实”:“极值”不仅仅在某些数学或物理问题上给予我们创造性的思考,它甚至构建了整个经典力学乃至于整个物理学!这不是夸大其辞,这是物理学中被称为“最小作用量原理”的一个原理,很多物理学家(如费恩曼)被它深深吸引着,甚至认为它就是“上帝创造世界的终极公式”!(关于做小作用量原理,大家不妨看一下范翔所写的《最小作用量原理与物理之美》系列文章)

话说在18世纪,欧拉拉格朗日开创了一条独特的道路,即用变分法来研究经典力学,从而使经典力学焕发出了新的活力,也由此衍生出了一个叫“理论力学”或“分析力学”的分支。用变分法研究力学有很多的好处,变分的对象一般都是标量函数,我们只需要写出动力系统的动能与势能表达式,就可以进行一系列的研究,比如列出质点的运动方程、判断平衡点的稳定性、求周期轨道等等(由于BoJone对理论力学研究还不够深入,无法举太多例子,但请相信,其作用远远不止这些),省去了不少繁琐的矢量性分析,这些都是在变分法发明前难以研究的。

点击阅读全文...

5 Apr

重提“旋转弹簧伸长”问题(变分解法)

感谢Awank-Newton读者的来信,本文于2013.01.30作了修正,主要是弹性势能的正负号问题。之前连续犯了两个错误,导致得出了正确答案。现在已经修正。参考《平衡态公理的修正与思考》

在下面的两篇文章中,BoJone已经介绍了这个“旋转弹簧伸长”的问题,并从两个角度提供了两种解答方法。前者列出了一道积分方程,然后再转变为微分方程来解;后者直接从弹性力学的角度来列出一道二阶微分方程,两者殊途同归。
http://kexue.fm/archives/782/

http://kexue.fm/archives/826/

今天,再经过一段时间的变分法涉猎后,BoJone尝试从变分的角度(总能量最小)来给出一种新的解法。同样设r为旋转达到平衡后弹簧上一点到旋转中心的距离,该点的线密度为$\lambda =\lambda (r)$,该点到中心的弹簧质量为$m=m(r)$,旋转前的长度为$l_0$,旋转平衡后的长度为$l_1$。由于弹簧旋转后已经达到了平衡状态,由平衡态公理(参看《自然极值》系列),平衡意味着总能量“动能-势能”取极值。

点击阅读全文...

30 Jul

变分法的一个技巧及其“误用”

不可否认,变分法是非常有用而绝妙的一个数学工具,它“自动地”为我们在众多函数中选出了最优的一个,而免除了具体的分析过程。物理中的最小作用量原理则让变分法有了巨大的用武之地,并反过来也推动了变分法的发展。但是变分法的一个很明显的特点就是在大多数情况下计算相当复杂,甚至如果“蛮干”的话我们几乎连微分方程组都列不出来。因此,一些有用的技巧是很受欢迎的。本文就打算介绍这样的一个小技巧,来让某些变分问题得到一定的化简。

我是怎么得到这个技巧的呢?事实上,那是几个月前我在阅读《引力与时空》时,读到变分原理那一块时我怎么也读不懂,想不明白。明明我觉得是错误的东西,为什么可以得到正确的结果?我的数学直觉告诉我绝对是作者的错,可是我又想不出作者哪里错了,所以就一直把这个问题搁置着。最近我终于得到了自己比较满意的答案,并且窃认为是本文所要讲的这个技巧却被物理学家“误用”了。

技巧

首先来看通常我们是怎么处理变分问题的,以一元函数为例,对于求
$$S=\int L(x,\dot{x},t)dt$$

点击阅读全文...

6 Jan

借助变分法变换坐标

ODE的坐标变换

熟悉理论力学的读者应该能够领略到变分法在变换坐标系中的作用。比如,如果要将下面的平面二体问题方程
$$\left\{\begin{aligned}\frac{d^2 x}{dt^t}=\frac{-\mu x}{(x^2+y^2)^{3/2}}\\
\frac{d^2 y}{dt^t}=\frac{-\mu y}{(x^2+y^2)^{3/2}}\end{aligned}\right.\tag{1}$$
变换到极坐标系下,如果直接代入计算,将会是一道十分繁琐的计算题。但是,我们知道,上述方程只不过是作用量
$$S=\int \left[\frac{1}{2}\left(\dot{x}^2+\dot{y}^2\right)+\frac{\mu}{\sqrt{x^2+y^2}}\right]dt\tag{2}$$
变分之后的拉格朗日方程,那么我们就可以直接对作用量进行坐标变换。而由于作用量一般只涉及到了一阶导数,因此作用量的变换一般来说比较简单。比如,很容易写出,$(2)$在极坐标下的形式为
$$S=\int \left[\frac{1}{2}\left(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2\right)+\frac{\mu}{r}\right]dt\tag{3}$$
对$(3)$进行变分,得到的拉格朗日方程为
$$\left\{\begin{aligned}&\ddot{r}=r\dot{\theta}^2-\frac{\mu}{r^2}\\
&\frac{d}{dt}\left(r^2\dot{\theta}\right)=0\end{aligned}\right.\tag{4}$$
就这样完成了坐标系的变换。如果想直接代入$(1)$暴力计算,那么请参考《方程与宇宙》:二体问题的来来去去(一)

点击阅读全文...

15 Feb

积分估计的极值原理——变分原理的初级版本

如果一直关注科学空间的朋友会发现,笔者一直对极值原理有偏爱。比如,之前曾经写过一系列《自然极值》的文章,介绍一些极值问题和变分法;在物理学中,笔者偏爱最小作用量原理的形式;在数据挖掘中,笔者也因此对基于最大熵原理的最大熵模型有浓厚的兴趣;最近,在做《量子力学与路径积分》的习题中,笔者也对第十一章所说的变分原理产生了很大的兴趣。

对于一样新东西,笔者的学习方法是以一个尽可能简单的例子搞清楚它的原理和思想,然后再逐步复杂化,这样子我就不至于迷失了。对于变分原理,它是估算路径积分的一个很强大的方法,路径积分是泛函积分,或者说,无穷维积分,那么很自然想到,对于有限维的积分估计,比如最简单的一维积分,有没有类似的估算原理呢?事实上是有的,它并不复杂,弄懂它有助于了解变分原理的核心思想。很遗憾,我并没有找到已有的资料描述这个简化版的原理,可能跟我找的资料比较少有关。

从高斯型积分出发

变分原理本质上是Jensen不等式的应用。我们从下述积分出发
$$\begin{equation}\label{jifen}I(\epsilon)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2-\epsilon x^4}dx\end{equation}$$

点击阅读全文...

22 Jul

Keras中自定义复杂的loss函数

Keras是一个搭积木式的深度学习框架,用它可以很方便且直观地搭建一些常见的深度学习模型。在tensorflow出来之前,Keras就已经几乎是当时最火的深度学习框架,以theano为后端,而如今Keras已经同时支持四种后端:theano、tensorflow、cntk、mxnet(前三种官方支持,mxnet还没整合到官方中),由此可见Keras的魅力。

Keras是很方便,然而这种方便不是没有代价的,最为人诟病之一的缺点就是灵活性较低,难以搭建一些复杂的模型。的确,Keras确实不是很适合搭建复杂的模型,但并非没有可能,而是搭建太复杂的模型所用的代码量,跟直接用tensorflow写也差不了多少。但不管怎么说,Keras其友好、方便的特性(比如那可爱的训练进度条),使得我们总有使用它的场景。这样,如何更灵活地定制Keras模型,就成为一个值得研究的课题了。这篇文章我们来关心自定义loss。

输入-输出设计

Keras的模型是函数式的,即有输入,也有输出,而loss即为预测值与真实值的某种误差函数。Keras本身也自带了很多loss函数,如mse、交叉熵等,直接调用即可。而要自定义loss,最自然的方法就是仿照Keras自带的loss进行改写。

点击阅读全文...

27 Nov

《自然极值》系列——1.前言

附:期中考过后,课程紧了,自由时间少了,因此科学空间的更新也放缓了。不过BoJone也会尽量地更新一些内容,和大家一同分享学习的乐趣。

闭区间[a,b]上的连续函数?(x),其最大值为红色点,最小值为蓝色点

闭区间[a,b]上的连续函数?(x),其最大值为红色点,最小值为蓝色点

上一周和这一周的时间里,BoJone将自己学习物理和极值的一些内容进行了总结和整合,写成了《自然极值》一文。因此从今天起,到十二月的大多数时间里,科学空间将和大家讲述并讨论关于“极值”的问题,希望读者会喜欢这部分内容。当然,我不是专业的研究人员,更不是经验丰富的物理和数学教师,甚至可以说是一个“乳臭未干的小子”,因此,错误在所难免,只希望同好不吝指出,更希冀能够起到我抛出的这一块“砖”能够引出美妙的“玉”。

点击阅读全文...

28 Nov

《自然极值》系列——3.平衡态公理

黄果树大瀑布

黄果树大瀑布

光学定律无疑是一个美妙的原理,而自然界中还存在另外一个我们随处可见的“公理”。平时的生活中,我们总能看见“水往低处流”的现象,这是因为水处于地球重力场的结果(也正因为如此,某些轻生者的自杀活动才得以顺利进行;当然,我们并不需要为了验证这一点而亲自试验。)。由此我们可以联想到一个名词:重力势能。“水往低处流”意味着什么呢?高度变低了。高度更低意味着什么呢?重力势能降低了!换句话说,自然界中物体有趋于势能最低的倾向。我们可以从这个角度来解释:体系总有趋于稳定的倾向,而拥有的能量(势能)越高,则越不稳定。

点击阅读全文...