一个人的数学建模:碎纸复原
By 苏剑林 | 2013-09-22 | 37901位读者 | 引用《费恩曼物理讲义》在线版
By 苏剑林 | 2013-12-28 | 38393位读者 | 引用不确定性原理的矩阵形式
By 苏剑林 | 2014-01-05 | 39873位读者 | 引用作为量子理论的一个重要定理,不确定性原理总是伴随着物理意义出现的,但是从数学的角度来讲,把不确定性原理的数学形式抽象出来,有助于我们发现更多领域的“不确定性原理”。
本文中,我们将谈及不确定性原理的n维矩阵形式。首先需要解释给大家的是,不确定性原理其实是关于“两个厄密算符与一个单位向量之间的一条不等式”。在量子力学中,厄密算符对应着无穷维的厄密矩阵;而所谓厄密矩阵,就是一个矩阵同时取共轭和转置之后,等于它自身。但是本文讨论一个更简单的情况,那就是n维实矩阵,n维实矩阵中的厄密矩阵就是我们所说的实对称矩阵了。
设$\boldsymbol{x}$是一个$n$维单位向量,即$|\boldsymbol{x}|=1$,而$\boldsymbol{A}$和$\boldsymbol{B}$是n阶实对称矩阵。在量子力学中,$\boldsymbol{x}$就是波函数,但是在这里,它只不过是一个单位实向量;并记$\boldsymbol{I}$是$n$阶单位阵。
考虑
$$\bar{A}=\boldsymbol{x}^{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x},\bar{B}=\boldsymbol{x}^{T}\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}$$
从这些记号可以看出,这些量对应着可观测量的期望值。当然,如果不懂量子力学,可以只看上面的矩阵形式。
班门弄斧:Python的代码能有多简洁?
By 苏剑林 | 2014-10-07 | 27693位读者 | 引用有限素域上的乘法群是循环群
By 苏剑林 | 2015-01-20 | 78453位读者 | 引用对于任意的素数$p$,集合$\mathbb{Z}_p=\{0,1,2,\dots,p-1\}$在模$p$的加法和乘法之下,构成一个域,这是学过抽象代数或者初等数论的读者都会知道的一个事实。其中,根据域的定义,$\mathbb{Z}_p$首先要在模$p$的加法下成为一个交换群,而且由于$\mathbb{Z}_p$的特殊性,它还是一个循环群,这也是比较平凡的事实。但是,考虑乘法呢?
首先,$0$是没有逆元的,我们考虑乘法,是在$\mathbb{Z}^\cdot _p=\mathbb{Z}_p \verb|\| \{0\}=\{1,2,\dots,p-1\}$上考虑的。如果我说,$\mathbb{Z}^\cdot _p$在模$p$之下的乘法也作成一个循环群,这结论就不是很平凡的了!然而这确实是事实,对于所有的素数$p$均成立。而有了这事实,数论中的一些结论就会相当显然了,比如当$d\mid (p-1)$时,$\mathbb{Z}_p$中的$d$次剩余就只有$\frac{p-1}{d}$个了,这是循环群的基本结论。
在《数学天书中的证明》一书中,有该结论的一个证明,但这个证明是存在性的,而我在另外一本书上也看到过类似的存在性证明,也就是说,似乎流行的证明都是存在性的,它告诉我们$\mathbb{Z}^\cdot _p$是一个循环群,但是没告诉我们怎么找到它的生成元。而事实上,高斯在他的《算术探索》中就给出了一个构造性的证明。(在数论中,本文的结论是“原根”那一章的基本知识。)下面笔者正是要重复高斯的证明,供读者参考。
【备忘】维基百科与DNSCrypt
By 苏剑林 | 2015-05-30 | 43798位读者 | 引用中文维基百科的域名zh.wikipedia.org于5月19日被关键字屏蔽和DNS污染,目前从中国已无法访问中文维基百科,中文维基百科的域名也无法解析出正确的IP地址,而英文维基百科目前未受影响,可以正常访问。
趣题:如何编程列出一个集合的所有子集
By 苏剑林 | 2016-03-04 | 29258位读者 | 引用【备忘】电脑远程控制手机的解决方案
By 苏剑林 | 2016-03-29 | 45560位读者 | 引用最近由于数据挖掘上的研究,需要想办法通过电脑远程控制手机(主要是安卓),遂查找了网络上的一些工具,这里记录一下结果,纯粹做备忘。有同样需要的读者可以参考。
之前在阿里云的服务器和树莓派上都做过远程控制的,记得Linux下的远程控制工具叫做VNC,于是我google和百度了vnc server android、vnc server apk等,发现这类工具确实不少,比如最知名的当属droid vnc server。但是同类的几个软件我都测试了,它确实是VNC软件,但是在我的几个安卓4.x上,显示都不正常(花屏),无奈抛弃了。再看一下日期,发现原来这些软件基本到2013年就停止更新了,一般支持到安卓2.3而已,怪不得。
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