科学空间|Scientific Spaces

牛顿法是求方程近似根的一个相当有用而且快捷的方法，我们最近科学计算软件课程（Matlab）的一个作业就是编写求方程近似解的程序，其中涉及到牛顿法。我们要实现的目标是，用户输入一道方程，脚本就自动求出根来。这看起来是一个挺简单的循环迭代程序，但是由于Matlab本身的特殊性，却产生了不少困难。

Matlab是为了数值计算（尤其是矩阵运算）而生的，因此它并不擅长处理符号计算。这就给我们编程带来了困难。在网上随便一搜，就可以发现，网上的Matlab牛顿法程序都是要求用户同时输入方程及其导函数，这显然是不方便的，因为Matlab本身就具备了求导功能。下面我们来分析一下困难在哪里。

我们要实现的最基本功能是定义一个函数，然后可以根据该函数求具体的函数值，并且自动求该函数的导数，接着求导数值。这些看起来很基本的功能在Matlab中却很难调和，因为Matlab的“函数”定义很广，一个具有特定功能的M文件叫“函数”，一个运算式$f(x)$也可能是一个函数，显然后者是可以求导的，前者却不行，所以Matlab一刀砍——不能对函数求导！！

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在学习正项级数的时候，我们的数学分析教材提供了各种判别法，比如积分判别法、比较判别法，并由此衍生出了根植法、比值法等，在最后提供了一个比较精细的“Raabe判别法”。这些方法的精度（强度）各不相同，一般认为“Raabe判别法”的应用范围最广的。但是在我看来，基于p级数的比较判别法已经可以用于所有题目了，它才是最强的方法。

p级数就是我们熟悉的
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$$

通过积分判别法可以得到当p>1时该级数收敛，反之发散。虽然我不能证明，但是我觉得以下结论是成立的：

若正项级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$收敛，则总可以找到一个常数A以及一个大于1的常数p，使每项都有$a_n < \frac{A}{n^p}$。

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迈克尔·法拉第肖像画

这段时间我接触的物理学都是场论，从各种方面为广义相对论奠基。自我感觉，我的数学基础还算可以的，但是物理“底蕴”就不够了，通常是能够把物理理论的数学描述看懂，但是对每一步的物理基础和来源却不甚了解，真是“数学有余而物理不足”呀。陶醉在场论的海洋一段时间之后，对场论也有了个大概的印象。但是有一个最基础的问题，直到今天我才算是得到了比较满意的解答——为什么要引入场？

在传统的牛顿力学中并没有“场”这一概念，比如天体力学我们只需要考虑天体之间的相互作用力就可以完美解决很多问题，根本不需要场。估计广大读者首次接触到“场”的概念是在高中学习电学的时候，那时教科书给我们带来了电场、场线等诸多诡异的概念。事实上就是如此，可以这样说，历史上“场”是为了电磁学而诞生的——法拉第首次引入的场线具有独特的魅力。

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上一篇文章里我已经从我自己的理解角度简单说了一下场论的必要性，这次让我们再次谈到这个话题，企图在文字层面上得到更深入的认识。

上一两周的时间，我一直在找资料，主要是线性引力的资料，并且发现了很多有趣的东西，在此一并与大家分享一下。首先，当我在Google中输入“线性引力”时，我发现了一本“奇书”，一本名副其实的“巨著”——《引力论》！洋洋1300多页的大作，三位“超级巨星”——C.W.麦思纳（Charles W.Misner）、K.S.索恩（Kip S.Thorne）、J.A.惠勒（John Archibald Wheeler）——联合编写，恐怕再也找不到哪本书可以PK它的“全明星阵容”了。该书英文名为Gravitation，中文是由台湾翻译的，繁体中文版。全书讲述了引力的研究历史和发展情况，更重要的是几乎每一处历史都给出了数学论证！最最重要的，作者惠勒还是跟爱因斯坦同一个研究时代的人，我们可以最真实的感受到那年代的研究。看到这里，我就迫不及待地想买了，由于各种原因，我们很难买到，到图书馆找，发现有英文版的，就马上借过来了，另外因为买不到中文版，我只好到网上买了电子版，然后打印出来了。不过不是很清晰，而且自我感觉中文翻译不是很好（当然，已经够我们阅读了）。

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无尽的等待

上个月的最后三天（06.28-06.30），我去国家天文台参加了第三届宇宙驿站的站长联谊会及科普研讨会。会议在河北兴隆天文台举行，我们按照计划是先到北京总部，然后去兴隆，然后回到北京总部解散。具体的故事我会另写文章与大家分享，本文主要想说一下我与北京首都国际机场的“难分难舍”的返程之旅。

按照计划，我是昨晚9点的飞机，今天凌晨应该可以到广州。我七点多到机场，八点左右就办完了登记手续，然而，我们等了两三个钟，最终得到的结果是：由于雷暴雨的影响（北京并没有下雨，估计是途中某个地方的上空天气太糟糕），该航班取消，补到第二天七点......这对我来说可真是个大考验。虽说航空公司会为我们联系宾馆，但是效率之低让不少人在机场抗议，于是乎冰冷的机场一下子就热闹起来的（取消的不知我们一趟航班，还有很多其他航班）。而我虽然来过好几次北京，毕竟还属于“异客”，自然经验不足，但我做出了一个很大胆的决定：在机场过夜！

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欢聚兴隆，畅言科普
记信息时代的天文科普研讨会暨第三届宇宙驿站站长联谊会

在信息时代的今天，利用互联网相互交流以及查找各种资讯已经成为了许多天文爱好者的必经之道。同好们也许都浏览过牧夫天文论坛、星友空间站、空间天文网等天文科学网站，事实上，它们都源于一个共同的科普网站群体——宇宙驿站。正如她的名字所言，宇宙驿站是我们一大群天文爱好者在互联网上的“家”，她为我们这群热衷于网络科普的站长免费提供了稳定的网站空间。

宇宙驿站发起于2002年，是国家天文台LAMOST项目之一，迄今已经有近百位站长在上面“安家”。2013年6月28日到6月30日，我们这群站长齐聚兴隆，开展了一次别开生面的会议——“信息时代的天文科普研讨会暨第三届站长联谊会”。

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农村的孩子免不了常做家务，当然我家也没有什么特别沉重的家务，通常都是扫地、做饭、洗菜这些简单的活儿。说到洗菜，洗完菜后总喜欢边放水边搅水，然后就在水面上形成一个颇为有趣的漩涡。现在我们从数学物理的角度来分析一下这个漩涡。

在讲洗手盆的漩涡之前，我们先来看一下一个比较类似的、更古老的问题——牛顿的旋转液面问题。牛顿假设有一个水桶（假设为圆柱形吧，但这不重要），水桶在绕自己的中轴线匀角速度旋转，直到桶内的水也随着匀角速度旋转（即水与水桶相对静止），此时水的液面形状是凹的，我们来看看该液面的形状。

牛顿的水桶

要分析形状，我们还要回顾之前提到过的流体静力学平衡：
http://kexue.fm/archives/1964/

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笔者很少会谈到定义性的东西，原因很简单，因为我也不见得会比大家清楚，或者说也未必比大家所知道的准确。不过，刚刚与同好讨论过与质量相关的问题，就跟大家分享一下。

最初的问题是能量能不能转化为物质，我觉得根据$E=mc^2$，是显然可以的，例子嘛，我首先想到在量子场论中的真空是会不断产生和湮灭正负电子对的，因此这可以作为一个证据。但是这个感觉上太遥远了，所以我在互联网搜索了一下，不过搜到的内容大同小异：

当辐射光子能量足够高时，在它从原子核旁边经过时，在核库仑场作用下，辐射光子可能转化成一个正电子和一个负电子，这种过程称作电子对效应。
（正负电子对效应）

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