《教材如何写》:对于教材写法的一点考虑
By 苏剑林 | 2011-04-16 | 20328位读者 | 引用转载自:eaglefantasy.com
有感于Matrix67神牛的这篇文章(强烈建议大家去读一读),我也发表一下自己对于教材编写的一点看法。
1.对线性代数的吐槽
(没学过线性代数的同学请忽略下面3段往后接着看。)
我一直觉得线性代数用那种严格公理化的语言写成课本根本不适合初学者学习,一开始学习线性代数的时候,我本人对很多概念的直观意义根本就是完全不知道。我们的课本是丘维声的《简明线性代数》,我在此毫不掩饰的表示对这本教材的鄙视:这本教材居然是按照这样的顺序讲线性代数的:线性方程组->行列式->线性方程组的进一步讨论->矩阵的运算->一大堆东西->线性空间->线性映射->一大堆东西。这个狗屁顺序直接导致我前半个学期一直以为线性代数就是研究怎么解线性方程组的,我心想,这么简单的问题,具体问题谁都会解,值得这么大动干戈的定义出这么大堆东西么。。。一直到线性空间那一个章节以前,我完全就不知道线性代数整个是在干什么..后来学的多了我才知道,其实线性代数就是研究线性空间和线性映射的嘛,什么线性方程组,根本没那么重要。一个更加合理的顺序是:先讲线性空间、线性映射,其中明确说明矩阵就是线性映射,然后再讲行列式,然后线性方程组只作为一个例子出现就可以了。
《教材如何写》:我们需要怎样的数学教育?
By 苏剑林 | 2011-04-16 | 56169位读者 | 引用转载自:matrix67.com
注:这篇文章里有很多个人观点,带有极强的主观色彩。其中一些思想不见得是正确的,有一些话也是我没有资格说的。我只是想和大家分享一下自己的一些想法。大家记得保留自己的见解。也请大家转载时保留这段话。
我不是一个数学家。我甚至连数学专业的人都不是。我是一个纯粹打酱油的数学爱好者,只是比一般的爱好者更加执着,更加疯狂罢了。初中、高中一路保送,大学不在数学专业,这让我可以不以考试为目的地学习自己感兴趣的数学知识,让我对数学有如此浓厚的兴趣。从 05 年建立这个 Blog 以来,每看到一个惊人的结论或者美妙的证明,我再忙都会花时间把它记录下来,生怕自己忘掉。不过,我深知,这些令人拍案叫绝的雕虫小技其实根本谈不上数学之美,数学真正博大精深的思想我恐怕还不曾有半点体会。
我多次跟人说起,我的人生理想就是,希望有一天能学完数学中的各个分支,然后站在一个至高点,俯瞰整个数学领域,真正体会到数学之美。但是,想要实现这一点是很困难的。最大的困难就是缺少一个学习数学的途径。看课本?这就是我今天想说的——课本极其不靠谱。
备忘:椭圆坐标与复三角函数
By 苏剑林 | 2011-04-10 | 42247位读者 | 引用重提“旋转弹簧伸长”问题(变分解法)
By 苏剑林 | 2011-04-05 | 17317位读者 | 引用感谢Awank-Newton读者的来信,本文于2013.01.30作了修正,主要是弹性势能的正负号问题。之前连续犯了两个错误,导致得出了正确答案。现在已经修正。参考《平衡态公理的修正与思考》
在下面的两篇文章中,BoJone已经介绍了这个“旋转弹簧伸长”的问题,并从两个角度提供了两种解答方法。前者列出了一道积分方程,然后再转变为微分方程来解;后者直接从弹性力学的角度来列出一道二阶微分方程,两者殊途同归。
http://kexue.fm/archives/782/
今天,再经过一段时间的变分法涉猎后,BoJone尝试从变分的角度(总能量最小)来给出一种新的解法。同样设r为旋转达到平衡后弹簧上一点到旋转中心的距离,该点的线密度为$\lambda =\lambda (r)$,该点到中心的弹簧质量为$m=m(r)$,旋转前的长度为$l_0$,旋转平衡后的长度为$l_1$。由于弹簧旋转后已经达到了平衡状态,由平衡态公理(参看《自然极值》系列),平衡意味着总能量“动能-势能”取极值。
BoJone在之前的《自然极值》系列已经花了一定篇幅来讲述“极值”在自然界中是多么的普遍,它能够引导我们进行某些问题的思考,从而获得简单快捷的解答。接下来,我要说的一个更加令人惊讶的“事实”:“极值”不仅仅在某些数学或物理问题上给予我们创造性的思考,它甚至构建了整个经典力学乃至于整个物理学!这不是夸大其辞,这是物理学中被称为“最小作用量原理”的一个原理,很多物理学家(如费恩曼)被它深深吸引着,甚至认为它就是“上帝创造世界的终极公式”!(关于做小作用量原理,大家不妨看一下范翔所写的《最小作用量原理与物理之美》系列文章)
话说在18世纪,欧拉和拉格朗日开创了一条独特的道路,即用变分法来研究经典力学,从而使经典力学焕发出了新的活力,也由此衍生出了一个叫“理论力学”或“分析力学”的分支。用变分法研究力学有很多的好处,变分的对象一般都是标量函数,我们只需要写出动力系统的动能与势能表达式,就可以进行一系列的研究,比如列出质点的运动方程、判断平衡点的稳定性、求周期轨道等等(由于BoJone对理论力学研究还不够深入,无法举太多例子,但请相信,其作用远远不止这些),省去了不少繁琐的矢量性分析,这些都是在变分法发明前难以研究的。
科学空间:2011年4月重要天象
By 苏剑林 | 2011-04-04 | 22641位读者 | 引用【福岛核电站】“最坏情况”有多坏?
By 苏剑林 | 2011-03-20 | 21086位读者 | 引用历史上的谜案——刘徽有没有使用外推法?
By 苏剑林 | 2011-03-12 | 25836位读者 | 引用话说当年我国古代数学家刘徽创立“割圆术”计算圆周率的事迹,在今天已被不少学生知晓;虽不能说家喻户晓,但是也为各教科书以及老师津津乐道。和古希腊的“数学之神”阿基米德同出一辙,刘徽也是使用圆的内接、外切正多边形来逼近圆形的;不一样的是,刘徽使用的方法是计算半径为1的圆的内接、外切正多边形的面积,而阿基米德计算的则是直径为1的圆的内接、外切正多边形的周长。两者的计算效果有什么区别呢?其实阿基米德的方法应该更快一点,阿基米德算到正n边形所得到的值,相当于刘徽算到正2n边形了。
在此我们不再对两者的计算方法进行区分,因为两者的本质都是一样的。按照现代数学的写法,“割圆术”的理论依据是
$$lim_{n\to \infty} n \sin(\frac{\pi}{n})=\pi\tag{1}$$
当然,刘徽不可能有现代计算正弦函数值的公式(现在计算正弦函数值一般用泰勒级数展开,而泰勒级数展开需要用到$\pi$的值),甚至在他那个时代就连笔墨也没有,据我所知即使是后来的祖冲之推算圆周率时,唯一的计算工具也只是现在称为“算筹”的小棍。不过刘徽还是凭借着超强的毅力,利用递推的方法逐步求圆周率。
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