28 Jan

【理科生读小说】来谈谈“四两拨千斤”

多彩金庸

在金庸笔下(其实很多武侠小说都如此),武功可以分三种:第一种是实打实的猛,如洪七公的降龙十八掌、金轮法王的龙象般若功等,它们的特点是主要特点是刚猛,比如

乔峰的降龙二十八掌是丐帮前任帮主汪剑通所传,但乔峰生俱异禀,于武功上得天独厚,他这降龙二十八掌摧枯拉朽,无坚不破,较之汪帮主尤有胜过。乔峰见对方双掌齐推,自己如以单掌相抵,倘若拼成平手,自己似乎稍占上风,不免有失恭敬,于是也双掌齐出。他左右双掌中所使掌力,也仍都是外三内七,将大部分掌力留劲不发。

——出自《天龙八部》世纪新修版

第二种是以虚招为主,也就是说你不能比对手猛,你骗倒对手也行,比如桃花岛的落英神剑掌:

这套掌法是黄药师观赏桃花岛中桃花落英缤纷而创制,出招变化多端,还讲究姿势之美。她双臂挥动,四方八面都是掌影,或五虚一实,或八虚一实,直似桃林中狂风忽起、万花齐落,妙在手足飘逸,宛若翩翩起舞,但她一来功力尚浅,二来心存顾惜,未能出掌凌厉如剑。郭靖眼花缭乱,哪里还守得住门户,不提防啪啪啪啪,左肩右肩、前胸后背,接连中了四掌,黄蓉全未使力,郭靖自也不觉疼痛。

——出自《射雕英雄传》世纪新修版

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2 Nov

【理解黎曼几何】8. 处处皆几何 (力学几何化)

黎曼几何在广义相对论中的体现和应用,虽然不能说家喻户晓,但想必大部分读者都有所听闻。一谈到黎曼几何在物理学中的应用,估计大家的第一反应就是广义相对论。常见的观点是,广义相对论的发现大大推动了黎曼几何的发展。诚然,这是事实,然而,大多数人不知道的事,哪怕经典的牛顿力学中,也有黎曼几何的身影。

本文要谈及的内容,就是如何将力学几何化,从而使用黎曼几何的概念来描述它们。整个过程事实上是提供了一种框架,它可以将不少其他领域的理论纳入到黎曼几何体系中。

黎曼几何的出发点就是黎曼度量,通过黎曼度量可以通过变分得到测地线。从这个意义上来看,黎曼度量提供了一个变分原理。那反过来,一个变分原理,能不能提供一个黎曼度量呢?众所周知,不少学科的基础原理都可以归结为一个极值原理,而有了极值原理就不难导出变分原理(泛函极值),如物理中就有最小作用量原理、最小势能原理,概率论中有最大熵原理,等等。如果有一个将变分原理导出黎曼度量的方法,那么就可以用几何的方式来描述它。幸运的是,对于二次型的变分原理,是可以做到的。

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18 May

调侃:万有引力与爱因斯坦的理论

我不是研究引力的,也没有很好地学习过引力。在理论物理方面,我学习经典力学和量子力学比学习广义相对论要多得多。因此,本来我是不应该谈引力的,以免误人子弟。不过,在一次坐车的途中,司机的刹车和加速让我联想到了一些跟引力有关的东西,自我感觉比较有趣,所以发给大家分享一下,也请大家指正。

等效原理

坐汽车

坐汽车

引力,准确来说应该是“万有引力”。所谓“万有”,有两个含义:1、所有物体都能够产生引力;2、所有物体都被引力影响。一个力居然是“万有”的,这让爱因斯坦感觉到非常奇怪,这也是四种基本力之中,引力跟其他力区别最明显的地方。相比之下,电磁相互作用力就只能存在于有“电”的地方,弱相互作用只存在于费米子,等等。

除了引力之外,我们平时还遇到过什么“万有”的力吗?貌似没有。但是我们想象一下,当你坐在一辆长途大巴匀速前进时,突然司机来了一个急刹车,在刹车的那一瞬间,所有人都往前倾了,不仅如此,可能你的行李箱、你的随身物品都往前移的,事实上,车上所有东西都受到了一个往前的力!对于那辆车上的人和物来说,刹车的那一瞬间,就存在着一个“万有”的力!

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9 Jan

《量子力学与路径积分》习题解答V0.4

流年

流年

《量子力学与路径积分》的习题解答终于艰难地推进到了0.4版本,目前已经基本完成了前7章的习题。

今天已经是2016年1月9号了,2015年已经远去,都忘记跟大家说一声新年快乐了,实在抱歉。在这里补充一句:祝大家新年快乐,事事如意!

笔者已经大四了,现在是临近期末考,又临近毕业。最近忙的事情有很多,其中之一是我加入了一个互联网小公司的创业队伍中,负责文本挖掘,偶尔也写写爬虫,等等,感觉自己进去之后,增长了不少见识,也增加了不少技术知识,较之我上一次实习,又有不一样的高度。现在里边有好几样事情排队着做,可谓忙得不亦悦乎了。还有,我也开始写毕业论文了,早点写完能够多点时间,学学自己喜欢的东西,毕业论文我写的是路径积分相关的内容,自我感觉写得还是比较清楚易懂的,等时机成熟了,发出来,向大家普及路径积分^_^。此外,每天做点路径积分的习题,也要消耗不少时间,有些比较难的题目,基本一道就做几个早上才能写出比较满意的答案。总感觉想学的想做的事情有很多,可是时间很少。

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18 Nov

《量子力学与路径积分》习题解答V0.3

新的《量子力学与路径积分》习题解答又放出来啦。与前两个版本不同的是,前两次更新,每次基本上完成了两章的习题,而这一次,只是增加了第6章的22道习题(第6章共有29道)。原因很多,各种忙就不说啦,主要是第6章开始,各种题目开始复杂起来,计算量也增大,虽然笔者是数学系的,可是还是前进得艰难。还有,第4、5两章加起来也只是25道习题,第6章却有29题,因此,本次更新的工作量,远远大于前两次更新的工作量。

为什么只有22题?当然是没有做完啦。为什么没有做完就更新啦?因为笔者觉得右面的题目,跟第7章的联系更为密切,因此,怕读者等不及,所以剩下的题目,跟第7章一起再发吧。

此外,我是看着中文版来做题的,中文版的翻译质量还不错,但是细微之处却有些不妥当,所以笔者要来回参考中英文版,颇累。读者可以发现,这一版中,“勘误”增加了不少。

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17 Oct

《量子力学与路径积分》习题解答V0.2

由于在实习中,事情比较多,做题时间比较少。并且越往后题目难度越大,因此习题解答的更新速度也慢了。现在是0.2版本,基本完成了前五章的习题,并且整理了版面,还加入了新版《量子力学与路径积分》的勘误。

如有问题,请指出,谢谢。

下载:《量子力学与路径积分》习题解答V0.2.pdf

14 Sep

《量子力学与路径积分》习题解答V0.1

忘了告诉大家,笔者是师范生,目前大四了,按照计划,我已经在一所高中实习了,因此,这两个月更新可能不怎么多,回复也不及时,请大家见谅。

趁这两个月时间,每天做一点《量子力学与路径积分》中的习题,整理与大家分享。目前是V0.1版,暂时只有第二三章的大部分习题解答。

《量子力学与路径积分》习题解答

《量子力学与路径积分》习题解答

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6 Jan

借助变分法变换坐标

ODE的坐标变换

熟悉理论力学的读者应该能够领略到变分法在变换坐标系中的作用。比如,如果要将下面的平面二体问题方程
$$\left\{\begin{aligned}\frac{d^2 x}{dt^t}=\frac{-\mu x}{(x^2+y^2)^{3/2}}\\
\frac{d^2 y}{dt^t}=\frac{-\mu y}{(x^2+y^2)^{3/2}}\end{aligned}\right.\tag{1}$$
变换到极坐标系下,如果直接代入计算,将会是一道十分繁琐的计算题。但是,我们知道,上述方程只不过是作用量
$$S=\int \left[\frac{1}{2}\left(\dot{x}^2+\dot{y}^2\right)+\frac{\mu}{\sqrt{x^2+y^2}}\right]dt\tag{2}$$
变分之后的拉格朗日方程,那么我们就可以直接对作用量进行坐标变换。而由于作用量一般只涉及到了一阶导数,因此作用量的变换一般来说比较简单。比如,很容易写出,$(2)$在极坐标下的形式为
$$S=\int \left[\frac{1}{2}\left(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2\right)+\frac{\mu}{r}\right]dt\tag{3}$$
对$(3)$进行变分,得到的拉格朗日方程为
$$\left\{\begin{aligned}&\ddot{r}=r\dot{\theta}^2-\frac{\mu}{r^2}\\
&\frac{d}{dt}\left(r^2\dot{\theta}\right)=0\end{aligned}\right.\tag{4}$$
就这样完成了坐标系的变换。如果想直接代入$(1)$暴力计算,那么请参考《方程与宇宙》:二体问题的来来去去(一)

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