量子力学中有一个很诡异的函数——Dirac函数,它似乎在物理的不少领域都有很大作用,它也具有明显的物理意义,但认真地看它却又感觉它根本就不是函数!这个“似而非是”的东西究竟是什么呢?让我们从一个物理问题引入:

设想一条质量为1,长度为$2l$的均匀直线,很显然直线的密度为$\rho=\frac{1}{2l}$;将直线的中点放置于坐标轴的原点,我们就有
$$\rho(x)=\left\{ \begin{array}{c}\frac{1}{2l} (-l \leq x \leq l)\\0 (x < -l , x > l)\end{array}\right.$$

所以有
$$\int_{-\infty}^{+\infty} \rho(x)dx=1$$

这个式子对于任意的$l$都是成立的,让我们考虑$l \to 0$的情况,我们记这时的函数为$\delta(x)$,即
$$\delta(x)=\left\{ \begin{array}{c} \infty (x = 0) \\ 0 (x \neq 0) \end{array}\right.$$

当然,最重要的是它保持了:
$$\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x)dx=1$$

这个诡异的$\delta(x)$函数由Dirac首先提出,我们就称之为Dirac函数。

Dirac函数的诡异之处在于它的各种与一般函数截然不同的性质,它拓展了我们对一般函数的观点。当然,由于在数学上它已经违反了一般函数的定义,所以严格来讲,它并不是函数,而是一种广义函数或者泛函。但是,这对于物理学家来说是无关紧要的,物理学家并不需要数学的高度严密性,他们可以为了物理研究而随意地“玩弄”数学,而且数学中有不少概念正是由于物理学家对数学的“玩弄”才诞生出来的。源于Dirac函数的广义函数便是其中一例。

Dirac函数独立的时候并没有明显的作用,但是当它作用于其它函数时,其作用就体现出来了。其最重要的一点就是:
$$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\delta(x)dx=f(0)$$

事实上,只要积分区间中包含x=0这个点,它的积分就是$f(0)$。也就是说,Dirac函数用积分从$f(x)$中提取出$f(0)$这个值。另外,不难证明$\delta(x)$还有以下性质:
$$\begin{eqnarray*} \delta(x)=\delta(-x) \\ x\delta(x-x_0)=x_0 \delta(x-x_0)\end{eqnarray*} $$

由于$\delta(x)$还没有显式表达式,所以早期在研究的时候我们会用正常函数的极限来表示它:
$$\begin{eqnarray*} \delta(x)=\lim_{a\to \infty} \sqrt{\frac{a}{\pi}}e^{-ax^2} \\ \delta(x)=\frac{1}{\pi} \lim_{a \to 0}\frac{a}{x^2+a^2}\end{eqnarray*} $$

要是这些还可以理解的话,我们Dirac函数最诡异的表达式莫过于:
$$\delta(x)=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{i\omega x}d\omega$$

虽然它在x=0处明显为无穷大,但是按照传统观点,它在其它点的极限值根本就不存在!!可是它的的确确是对的,这是根据傅里叶变换得出的结果。这恰好是在数学物理方程中Dirac函数出现时的最主要的形式

我们还可以定义$\delta(x)$的导数,你也许会想到对它的极限表达式求导,但是这样并不能得出我们想要的结果。既然Dirac函数的作用体现在它作用于具体函数时,那么我们也把其导数作用于具体函数:
$$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\delta'(x)dx=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)d\delta(x) \\ =[f(x)\delta(x)]|_{-\infty}^{+\infty}-\int_{-\infty}^{+\infty} f'(x)\delta(x)dx \\ =-f'(0)\end{eqnarray*} $$

其中利用了分部积分法,同理可证:$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\delta^{(n)}(x)dx=(-1)^n f^{(n)}(0)$

类似地,我们还可以定义二维、三维的Dirac函数,n维狄拉克函数记为$\delta(\vec{r})$。定义为
$$\delta (\vec{r})=\left\{\begin{array}{c}\infty (\vec{r} =\vec{0})\\0 (\vec{r}\neq \vec{0})\end{array}\right.,\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(\vec{r}) d\vec{r}=1$$

Dirac函数源于量子力学,用得最多的应该也是量子力学。但它现在已经发展开来,成为解决线性偏微分方程的重要工具,这主要体现在数学物理方程中的格林函数法(Green函数)。


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