16 Apr

采样定理:有限个点构建出整个函数

假设我们在听一首歌,那么听完这首歌之后,我们实际上在做这样的一个过程:耳朵接受了一段时间内的声波刺激,从而引起了大脑活动的变化。而这首歌,也就是这段时间内的声波,可以用时间$t$的函数$f(t)$描述,这个函数的区间是有限的,比如$t\in[0,T]$。接着假设另外一个场景——我们要用电脑录下我们唱的歌。这又是怎样一个过程呢?要注意电脑的信号是离散化的,而声波是连续的,因此,电脑要把歌曲记录下来,只能对信号进行采样记录。原则上来说,采集的点越多,就能够越逼真地还原我们的歌声。可是有一个问题,采集多少点才足够呢?在信息论中,一个著名的“采样定理”(又称香农采样定理,奈奎斯特采样定理)告诉我们:只需要采集有限个样本点,就能够完整地还原我们的输入信号来!

采集有限个点就能够还原一个连续的函数?这是怎么做到的?下面我们来解释这个定理。

任意给定一个函数,一般来说我们都可以将它做傅里叶变换:
$$F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)e^{i\omega t}dt\tag{1}$$
虽然我们的积分限写了正负无穷,但是由于$f(t)$是有限区间内的函数,所以上述积分区间实际上是有限的。

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8 Dec

伽马函数的傅里叶变换之路

伽马函数
$$\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}dt$$
作为阶乘的推广,会让很多初学者感到困惑,对于笔者来说也不例外。一个最自然的问题就是:这般复杂的推广公式是如何得到的?

在cos.name的文章《神奇的伽马函数》中,有比较详细地对伽马函数的历史介绍,笔者细读之后也获益匪浅。但美中不足的是,笔者还是没能从中找到引出伽马函数的一种“自然”的办法。所谓“自然”,并不是说最简单的,而是根据一些基本的性质和定义,直接把伽马函数的表达式反解出来。它的过程和运算也许并不简单,但是思想应当是直接而简洁的。当然,我们不能苛求历史上伽马函数以这种方式诞生,但是作为事后探索是有益的,有助于我们了解伽马函数的特性。于是笔者尝试了以下途径,得到了一些结果,可是也得到了一些困惑。

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25 Apr

傅里叶变换:只需要异想天开?

在对数学或物理进行事后分析,往往会发现一些奇怪的现象,也有可能得到一些更为深刻有趣的结果。比如本文所要谈及的傅里叶变换,可以由一种“异想天开”的思路得来。

洛朗展式
我们知道,在原点处形态良好的函数,可以展开为泰勒级数
$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$$
我们发现,上面的幂都是正的,为什么不能包含$x$的负数次幂呢?比如$\frac{\sin z}{z^2}$展开为
$$\frac{1}{z}-\frac{z}{6}+\frac{z^3}{120}\dots$$
显然也是一件合理的事情。于是,结合复变函数,我们得到解析函数的洛朗展式
$$f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n z^n$$
这是函数的双边展开。其中

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