魏尔斯特拉斯定理

将狄拉克函数理解为函数的极限,可以衍生出很丰富的内容,而且这些内容离严格的证明并不遥远。比如,定义
$$\delta_n(x)=\left\{\begin{aligned}&\frac{(1-x^2)^n}{I_n},x\in[-1,1]\\
&0,\text{其它情形}\end{aligned}\right.$$
其中$I_n = \int_{-1}^1 (1-x^2)^n dx$,于是不难证明
$$\delta(x)=\lim_{n\to\infty}\delta_n(x)$$
这样,对于$[a,b]$上的连续函数$f(x)$,我们就得到
$$f(x)=\int_{-1}^1 f(y)\delta(x-y)dy = \lim_{n\to\infty}\int_{-1}^1 f(y)\delta_n(x-y) dy$$
这里$-1 < a < b < 1$,并且我们已经“不严谨”地交换了积分号和极限号,但这不是特别重要。重要的是它的结果:可以看到
$$P_n(x)=\int_{-1}^1 f(y)\delta_n(x-y) dy$$
是$x$的一个$2n$次多项式,因此上式表明$f(x)$是一个$2n$次的多项式的极限!这就引出了著名的“魏尔斯特拉斯定理”:

闭区间上的连续函数都可以用多项式一致地逼近。

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