9 Jun

路径积分系列:5.例子和综述

路径积分方法为解决某些随机问题带来了新视角.

一个例子:股票价格模型

考虑有风险资产(如股票),在$t$时刻其价格为$S_t$,考虑的时间区间为$[0,T]$,0表示初始时间,$T$表示为到期日. $S_t$看作是随时间变化的连续时间变量,并服从下列随机微分方程:
$$dS_t^0=rS_t^0 dt;\quad dS_t=S_t(\mu dt+\sigma dW_t).\tag{70}$$
其中,$\mu$和$\sigma$是两个常量,$W_t$是一个标准布朗运动.

关于$S_t$的方程是一个随机微分方程,一般解决思路是通过随机微积分. 随机微积分有别于一般的微积分的地方在于,随机微积分在做一阶展开的时候,不能忽略$dS_t^2$项,因为$dW_t^2=dt$. 比如,设$S_t=e^{x_t}$,则$x_t=\ln S_t$
$$\begin{aligned}dx_t=&\ln(S_t+dS_t)-\ln S_t=\frac{dS_t}{S_t}-\frac{dS_t^2}{2S_t^2}\\
=&\frac{S_t(\mu dt+\sigma dW_t)}{S_t}-\frac{[S_t(\mu dt+\sigma dW_t)]^2}{2S_t^2}\\
=&\mu dt+\sigma dW_t-\frac{1}{2}\sigma^2 dW_t^2\quad(\text{其余项均低于}dt\text{阶})\\
=&\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2\right) dt+\sigma dW_t\end{aligned}
,\tag{71}$$

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9 Jun

路径积分系列:4.随机微分方程

本章将路径积分用于随机微分方程,并且得到了与不对称随机游走一样的结果,从而证明了它与该模型的等价性.

将路径积分用于随机微分方程的研究,这一思路由来已久. 费曼在他的著作[5]中,已经建立了路径积分与线性随机微分方程的关系. 而对于非线性的情况,也有不少研究,但比较混乱,如文献[8]甚至给出了错误的结果.

本文从路径积分的离散化概念出发,明确地建立了两个路径积分微元的雅可比行列式关系,从而对非线性随机微分方程也建立了路径积分. 本文的结果跟文献[9]的结果是一致的.

概念

本文所研究的仅仅是随机常微分方程,它与一般的常微分方程的区别在于布朗运动项的引入,如常见的一类随机微分方程为
$$dx(t)=p(x(t),t)dt + \sqrt{\alpha} dW_t.\tag{48}$$
其中$W_t$代表着一个标准的布朗运动. 由于引入了随机项,所以解$x(t)$不再是确定的,而是有一定的概率分布.

在对随机微分方程中,感兴趣的量有很多,比如关于$x$的某个量的期望、方差,或者稳定性,等等. 随机微分方程领域中有各种分析的技巧,但是显然,直接求出$x(t)$的概率分布后对概率分布进行研究,是最理想最容易的方案. 路径积分正是给出了求概率分布的一个方法.

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2 Jun

路径积分系列:3.路径积分

路径积分是量子力学的一种描述方法,源于物理学家费曼[5],它是一种泛函积分,它已经成为现代量子理论的主流形式. 近年来,研究人员对它的兴趣愈发增加,尤其是它在量子领域以外的应用,出现了一些著作,如[7]. 但在国内了解路径积分的人并不多,很多量子物理专业的学生可能并没有听说过路径积分.

从数学角度来看,路径积分是求偏微分方程的Green函数的一种方法. 我们知道,在偏微分方程的研究中,如果能够求出对应的Green函数,那么对偏微分方程的研究会大有帮助,而通常情况下Green函数并不容易求解. 但构建路径积分只需要无穷小时刻的Green函数,因此形式和概念上都相当简单.

本章并没有新的内容,只是做了一个尝试:从随机游走问题出发,给出路径积分的一个简明而直接的介绍,展示了如何将抛物型的偏微分方程问题转化为路径积分形式.

从点的概率到路径的概率

在上一章对随机游走的研究中,我们得出从$x_0$出发,$t$时间后,走到$x_n$处的概率密度为
$$\frac{1}{\sqrt{2\pi \alpha T}}\exp\left(-\frac{(x_n-x_0)^2}{2\alpha t}\right).\tag{22}$$
这是某时刻某点到另一个时刻另一点的概率,在数学上,我们称之为扩散方程$(21)$的传播子,或者Green函数.

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30 May

路径积分系列:2.随机游走模型

随机游走模型形式简单,但通过它可以导出丰富的结果,它是物理中各种扩散模型的基础之一,它也等价于随机过程中的布朗运动.

笔者所阅的文献表明,数学家已经对对称随机游走问题作了充分研究[2],也探讨了随机游走问题与偏微分方程的关系[3],并且还研究过不对称随机游走问题[4]. 然而,已有结果的不足之处有:1、在推导随机游走问题的概率分布或者偏微分方程之时,所用的方法不够简洁明了;2、没有研究更一般的不对称随机游走问题.

本章弥补了这一不足,首先通过母函数和傅立叶变换的方法,推导出了不对称随机游走问题所满足的偏微分方程,并且提出,由于随机游走容易通过计算机模拟,因此通过随机游走来模拟偏微分方程的解是一种有效的数值途径.

模型简介

本节通过一个本质上属于二项分布的走格子问题来引入随机游走.

考虑实数轴上的一个粒子,在$t=0$时刻它位于原点,每秒钟它以相等的概率向前或向后移动一格($+1$或$-1$),问$n$秒后它所处位置的概率分布.

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30 May

路径积分系列:1.我的毕业论文

之前承诺过会把毕业论文共享出来,让大家批评指正,却一直偷懒没动。事实上,毕业论文的主要内容就是路径积分的一些入门级别的内容,标题为《随机游走、随机微分方程与偏微分方程的路径积分方法》。我的摘要是这样写的:

本文从随机游走模型出发,得到了关于随机游走模型的一般结果;然后基于随机游走模型引入了路径积分,并且通过路径积分方法,实现了随机游走、随机微分方程与抛物型微分方程的相互转化,并给出了一些计算案例.

路径积分方法是量子理论的一种形式,但实际上它可以抽象为一个有用的数学工具,本文的主要方法正是抽象后的路径积分;其次,量子力学中有一个相当典型的抛物型偏微分方程——薛定谔方程,物理学家已经对它进行了大量的研究,有众多的成果;而随机微分方程是一个微分方程的拓展,在物理、工程、金融等很多方面都有重要应用,这个领域中也有很多研究方法;最后,随机游走是一个简单而重要的模型,它是很多扩散模型的基础,而且具有容易使用计算机模拟的特性. 因此,实现三者的转化是很有意义的.

本文有一些新的内容,比如现有文献比较少研究的不对称随机游走方面、以及现有文献比较含糊的对路径积分的介绍等,可以供同好参考,希望借此方式,能够让一些读者以更简洁明了的方式理解路径积分. 但是本文主要是陈述性的,旨在在国内推广路径积分方法. 在国外,路径积分方法得到了相当的重视,它源于量子力学,但应用已经不仅仅限于量子力学,如著作[1],因此,推广路径积分方法、增加路径积分的中文资料,是很有意义和很有必要的事情.

本文所有推导和例子均以一维为例,相应的多维问题可以类似地计算。

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15 May

Coming Back...

上一篇博文的发布时间是4月15日,到今天刚好一个月没更新了,但是科学空间的访问量还在。感谢大家对本空间的支持,BoJone对久未更新表示非常抱歉。在恢复更新之前,请允许笔者记记流水账。

在“消失”的一个月中,笔者主要的事情是毕业论文数据挖掘竞赛。首先毕业论文方面,论文于4月22日交稿,4月29日答辩,答辩完后就意味着毕业论文的事情结束了。我的毕业论文主要写了路径积分在描述随机游走、偏微分方程、随机微分方程的应用。既然是本科论文,就不能说得太晦涩,因此论文整体来看还是比较易读的,可以作为路径积分的入门教程。后面我会略加修改,分开几部分发布在科学空间中的,到时请大家批评指正。

说到路径积分,不得不说到做《量子力学与路径积分》的习题解答这件事情了。很遗憾,这一个多月来,基本没有时间做习题。不过后面我会继续做下去的,已发布的版本,也请有兴趣的读者指出问题。记得年初的时候,朋友问我今年的愿望是什么,我随意地回答了“希望做完一本书的习题”,这本书,当然就是《量子力学与路径积分》了,我相信今年应该能够完成的。

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1 Apr

《量子力学与路径积分》习题解答V0.5

习题解答继续艰难推进中,目前是0.5版本,相比0.4版,跳过了8、9章,先做了第10、11章统计力学部分的习题。

第10章有10道习题,第11章其实没有习题。看上去很少,但其实每一道习题的难度都很大。这两章的主要内容都是在用路径积分方法算统计力学中的配分函数,这本来就是一个很艰辛的课题。加上费曼在书中那形象的描述,容易让读者能够认识到大概,但是却很难算下去。事实上,这一章的习题,我参考了相当多的资料,中文的、英文的都有,才勉强完成了。

虽说是完成,但10道题目中,我只完成了9道,其中问题10-3是有困惑的,我感觉的结果跟费曼给出的不一样,因此就算不下去了。在这里提出来,希望了解的读者赐教。

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9 Jan

《量子力学与路径积分》习题解答V0.4

流年.jpg《量子力学与路径积分》的习题解答终于艰难地推进到了0.4版本,目前已经基本完成了前7章的习题。

今天已经是2016年1月9号了,2015年已经远去,都忘记跟大家说一声新年快乐了,实在抱歉。在这里补充一句:祝大家新年快乐,事事如意!

笔者已经大四了,现在是临近期末考,又临近毕业。最近忙的事情有很多,其中之一是我加入了一个互联网小公司的创业队伍中,负责文本挖掘,偶尔也写写爬虫,等等,感觉自己进去之后,增长了不少见识,也增加了不少技术知识,较之我上一次实习,又有不一样的高度。现在里边有好几样事情排队着做,可谓忙得不亦悦乎了。还有,我也开始写毕业论文了,早点写完能够多点时间,学学自己喜欢的东西,毕业论文我写的是路径积分相关的内容,自我感觉写得还是比较清楚易懂的,等时机成熟了,发出来,向大家普及路径积分^_^。此外,每天做点路径积分的习题,也要消耗不少时间,有些比较难的题目,基本一道就做几个早上才能写出比较满意的答案。总感觉想学的想做的事情有很多,可是时间很少。

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