2 Jun

路径积分系列:3.路径积分

路径积分是量子力学的一种描述方法,源于物理学家费曼[5],它是一种泛函积分,它已经成为现代量子理论的主流形式. 近年来,研究人员对它的兴趣愈发增加,尤其是它在量子领域以外的应用,出现了一些著作,如[7]. 但在国内了解路径积分的人并不多,很多量子物理专业的学生可能并没有听说过路径积分.

从数学角度来看,路径积分是求偏微分方程的Green函数的一种方法. 我们知道,在偏微分方程的研究中,如果能够求出对应的Green函数,那么对偏微分方程的研究会大有帮助,而通常情况下Green函数并不容易求解. 但构建路径积分只需要无穷小时刻的Green函数,因此形式和概念上都相当简单.

本章并没有新的内容,只是做了一个尝试:从随机游走问题出发,给出路径积分的一个简明而直接的介绍,展示了如何将抛物型的偏微分方程问题转化为路径积分形式.

从点的概率到路径的概率

在上一章对随机游走的研究中,我们得出从$x_0$出发,$t$时间后,走到$x_n$处的概率密度为
$$\frac{1}{\sqrt{2\pi \alpha T}}\exp\left(-\frac{(x_n-x_0)^2}{2\alpha t}\right).\tag{22}$$
这是某时刻某点到另一个时刻另一点的概率,在数学上,我们称之为扩散方程$(21)$的传播子,或者Green函数.

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1 Apr

《量子力学与路径积分》习题解答V0.5

习题解答继续艰难推进中,目前是0.5版本,相比0.4版,跳过了8、9章,先做了第10、11章统计力学部分的习题。

第10章有10道习题,第11章其实没有习题。看上去很少,但其实每一道习题的难度都很大。这两章的主要内容都是在用路径积分方法算统计力学中的配分函数,这本来就是一个很艰辛的课题。加上费曼在书中那形象的描述,容易让读者能够认识到大概,但是却很难算下去。事实上,这一章的习题,我参考了相当多的资料,中文的、英文的都有,才勉强完成了。

虽说是完成,但10道题目中,我只完成了9道,其中问题10-3是有困惑的,我感觉的结果跟费曼给出的不一样,因此就算不下去了。在这里提出来,希望了解的读者赐教。

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9 Jan

《量子力学与路径积分》习题解答V0.4

流年.jpg《量子力学与路径积分》的习题解答终于艰难地推进到了0.4版本,目前已经基本完成了前7章的习题。

今天已经是2016年1月9号了,2015年已经远去,都忘记跟大家说一声新年快乐了,实在抱歉。在这里补充一句:祝大家新年快乐,事事如意!

笔者已经大四了,现在是临近期末考,又临近毕业。最近忙的事情有很多,其中之一是我加入了一个互联网小公司的创业队伍中,负责文本挖掘,偶尔也写写爬虫,等等,感觉自己进去之后,增长了不少见识,也增加了不少技术知识,较之我上一次实习,又有不一样的高度。现在里边有好几样事情排队着做,可谓忙得不亦悦乎了。还有,我也开始写毕业论文了,早点写完能够多点时间,学学自己喜欢的东西,毕业论文我写的是路径积分相关的内容,自我感觉写得还是比较清楚易懂的,等时机成熟了,发出来,向大家普及路径积分^_^。此外,每天做点路径积分的习题,也要消耗不少时间,有些比较难的题目,基本一道就做几个早上才能写出比较满意的答案。总感觉想学的想做的事情有很多,可是时间很少。

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18 Nov

《量子力学与路径积分》习题解答V0.3

新的《量子力学与路径积分》习题解答又放出来啦。与前两个版本不同的是,前两次更新,每次基本上完成了两章的习题,而这一次,只是增加了第6章的22道习题(第6章共有29道)。原因很多,各种忙就不说啦,主要是第6章开始,各种题目开始复杂起来,计算量也增大,虽然笔者是数学系的,可是还是前进得艰难。还有,第4、5两章加起来也只是25道习题,第6章却有29题,因此,本次更新的工作量,远远大于前两次更新的工作量。

为什么只有22题?当然是没有做完啦。为什么没有做完就更新啦?因为笔者觉得右面的题目,跟第7章的联系更为密切,因此,怕读者等不及,所以剩下的题目,跟第7章一起再发吧。

此外,我是看着中文版来做题的,中文版的翻译质量还不错,但是细微之处却有些不妥当,所以笔者要来回参考中英文版,颇累。读者可以发现,这一版中,“勘误”增加了不少。

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14 Sep

《量子力学与路径积分》习题解答V0.1

忘了告诉大家,笔者是师范生,目前大四了,按照计划,我已经在一所高中实习了,因此,这两个月更新可能不怎么多,回复也不及时,请大家见谅。

趁这两个月时间,每天做一点《量子力学与路径积分》中的习题,整理与大家分享。目前是V0.1版,暂时只有第二三章的大部分习题解答。
《量子力学与路径积分》习题解答.png

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6 Jun

收到新版《量子力学与路径积分》

《量子力学与路径积分》封面.jpg今天收到高教出版社的王超编辑寄来的费曼著作新版《量子力学与路径积分》了,兴奋ing...

《量子力学与路径积分》是费曼的一本经典著作,更是量子力学的经典著作——它是我目前读过的唯一一本从路径积分出发、并且以路径积分为第一性原理的量子力学著作(徐一鸿的《简明量子场论》好象是我读过的唯一一本纯粹以路径积分为方法的量子场论著作,也非常不错),其它类型的量子力学著作,也有部分谈到路径积分,但无一不是从哈密顿形式中引出路径积分的,在那种情况之下,路径积分只能算是一个推论。但是路径积分明明就作为量子力学的三种形式之一,它应该是可以作为量子力学的基本原理来提出的,而不应该作为另一种形式的推论。费曼做了尝试——从路径积分出发讲解量子力学,而且显然这种尝试是很成功的,至少对于我来说,路径积分是一种非常容易理解的量子力学形式。(这也许跟我的数学基础有关)

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20 Jan

我是一个费曼迷

前几天在台湾购买(淘宝代购)的《费曼统计力学》和《费曼计算学》在今天到手了,至此,我的费曼著作收藏基本完成了。

费曼重力学、统计力学和计算学.jpg

我是一个费曼迷,为费曼的小飞侠人格所吸引,为费曼的物理才能所折服。因此,我甚至像普通人追星那样追崇费曼,收藏他的书籍,还有学习他所发明的物理。

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24 Nov

力的无穷分解与格林函数法

我小时候一直有个疑问:

直升机上的螺旋桨能不能用来挡雨?

一般的螺旋桨是若干个“条状”物通过旋转对称而形成的,也就是说,它并非一个面,按常理来说,它是没办法用来挡雨的。但是,如果在高速旋转的情况下,甚至假设旋转速度可以任意大,那么我们任意时刻都没有办法穿过它了,这种情况下,它似乎与一个实在的面无异?

力的无穷分解

力的离散化.png当然,以上只是笔者小时候的一个“异想天开”的念头,读者不必较真。不过,这个疑问跟本文有什么联系呢?我们在研究振动问题之时,通常会遇到在变力的作用下的受迫振动问题,已知变力是时间的函数,比如$f(t)$,然而,虽然知道$f(t)$的具体形式,但是由于$f$的非线性性,加上外力之后的运动,不一定容易求解。然而,如果可以将一个变化的力分段为无数个无穷小时间内的恒力(冲力),那么我们就可以分段讨论我们要研究的运动,而通常来说,恒力的问题会比变力容易。将一个变力离散化,然后再取极限,那么是不是跟原来在变力下的运动是一样的呢?这跟文章开头的疑问有着类似的思想——离线的极限,跟连续本身,是不是等价的?

而让人惊喜的是,在通常的物理系统中,将力分段为无数个小区间内的恒力的做法,能够导致正确的答案,而且,这恰好是线性常微分方程的格林函数法。下面我们来分析这一做法。

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