28 Oct

朋友们,来瓶汽水吧!有趣的换汽水问题

————怀念我曾经参加过的小学数学竞赛。

从一道小学竞赛题谈起

笔者小学五年级时参加了第一次数学竞赛,叫“育苗杯”,大多数题目都记不清楚了,唯一记得很清楚的是如下这道题目(不完全相同,意思类似):

假设汽水一块钱一瓶,而且4个空瓶子可以换一瓶汽水喝。如果我有30块钱,我最多可以喝到多少瓶汽水?

来瓶汽水吧.jpg当然,上面的情况可能太理想了,但是必须承认,类似的案例在生活中大量存在。比如买草龟吃时,草龟壳由于可以入药,所以有人回收龟壳,这也意味着若干个龟壳就可以换一只龟,等等。读者能不能很快就算出来呢?

当然,这道题并不困难,30块钱能买30瓶汽水,然后留下30个空瓶子,这30个空瓶子可以换来7瓶汽水,剩下2个空瓶子;喝完汽水后,剩下9个空瓶子,可以换来2瓶汽水,剩下1个空瓶子;喝完汽水后,剩下3个空瓶子。算算看,这时候我们已经喝了30+7+2=39瓶汽水了。(不考虑撑着啊,也可以分给别人喝^_^)整个过程如下表:
$$\begin{array}{c|cccc}
\hline
\text{空瓶子数} & 30 & 2+7 & 1+2 & ? \\
\hline
\text{已喝汽水数} & 30 & 7 & 2 & ? \\
\hline \end{array}$$

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27 Sep

数学基本技艺之23、24(下)

在上一篇文章中我们得到了第23题的解,本来想接着类似地求第24题,但是看着23题的答案,又好像发现了一些新的东西,故没有继续写下去。等到今天在课堂上花了一节课研究了一下之后,得到了关于这种拟齐次微分方程的一些新的结果,遂另开一篇新文章,与大家分享。

一、特殊拟齐次微分方程的通解

在上一篇文章中,我们求出了拟齐次微分方程$\frac{dy}{dx}=x+\frac{x^3}{y}$的解:
$$(2y+x^2)(x^2-y)^2=C$$
或者写成这样的形式:
$$(y+\frac{1}{2} x^2)(y-x^2)^2=C$$

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26 Sep

数学基本技艺之23、24(上)

23、求解拟齐次方程$\frac{dy}{dx}=x+\frac{x^3}{y}$
24、求解拟齐次方程$\ddot{x}=x^5+x^2\dot{x}$

把这两道题目放在一起说是因为我觉得这两道题目本质上是一样的,当然,不管怎样,24题更复杂一些。在24题中,设$\dot{x}=y$,则$\ddot{x}=y\frac{dy}{dx}$,于是原方程就变成:
$$\frac{dy}{dx}=x^2+\frac{x^5}{y}$$
这样就跟23题的形式差不多了。

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26 Sep

数学基本技艺(A Mathematical Trivium)

这是Arnold给物理系学生出的基础数学题。原文是Arnold于1991年,在Russian Math Surveys 46:1(1991),271-278上发的一篇文章,英文名叫 A mathematical trivium,这篇文章是有个前言的,用两页纸的内容吐槽了1991年的学生数学学得很烂,尤其是物理系的。文后附了100道数学题,号称是物理系学生的数学底线。

这是给物理系出的数学题,所以和一般的数学竞赛题目不同,没太多证明题,主要就是计算和解模型,而且还有不少近似估算的,带有明显的物理风格。虽然作者说这是物理系学生数学的底线,但即使对于数学系的学生来说,这些题目还是有不少难度的。网络也有一些题目的答案,但是都比较零散。在这里与大家分享一下题目。什么时候有时间了,或者刚好碰到类似的研究,我也会把题目做做,与各位分享。希望有兴趣的朋友做了之后也把答案与大家交流呀。

1.jpg

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18 Jul

欢聚兴隆,畅言科普

欢聚兴隆,畅言科普

记信息时代的天文科普研讨会暨第三届宇宙驿站站长联谊会
在信息时代的今天,利用互联网相互交流以及查找各种资讯已经成为了许多天文爱好者的必经之道。同好们也许都浏览过牧夫天文论坛、星友空间站、空间天文网等天文科学网站,事实上,它们都源于一个共同的科普网站群体——宇宙驿站。正如她的名字所言,宇宙驿站是我们一大群天文爱好者在互联网上的“家”,她为我们这群热衷于网络科普的站长免费提供了稳定的网站空间。

宇宙驿站发起于2002年,是国家天文台LAMOST项目之一,迄今已经有近百位站长在上面“安家”。2013年6月28日到6月30日,我们这群站长齐聚兴隆,开展了一次别开生面的会议——“信息时代的天文科普研讨会暨第三届站长联谊会”。

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4 Mar

我的自主招生成绩公布了

北大这次也太不够朋友了,华约、卓越的成绩昨天就已经出来了,北大的今天才查到(不知道它是昨晚公布还是今天早上公布的),着急等待了一整天。千呼万唤,总算出来了。

很遗憾地告诉大家,就目前的情况来看,北大自招是没戏了。271的总分,很难被通过...
自主招生 成绩.PNG

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12 Feb

2012北约自主招生数学

其中前六题是选择题,具体情况记不起来了,其实也是挺简单的。不过有兴趣的朋友可以在本文的PDF附件查阅到试题(来自“空念远兮”数学网站)。

对了这个PDF文件的参考答案之后,BoJone发现我的选择题全对。而后三道大题我只做了最后两道,解法也和PDF中的不大一样,在此写出来与大家讨论。

1、求证:内角相等的圆内接五边形是正五边形。

这道题是我在最后十五分钟做出来的。一开始想到很多复杂的定理方法,后来发现它可以很简单证明。

如图是一个满足题目条件的五边形。
五边形.PNG

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10 Feb

今天出发,奔向自招考试...

对于教育界来说,在二月自招是一个热门的话题。各个高效的自主招生考试都在二月如火如荼地开始了。前几天山东大学的考试以及复旦大学的“千分考”都已经进行了,明天“北约”和“华约”都将举行它们的自招笔试。BoJone作为去年夏令营营员的一份子,也有机会去参加北大的笔试。

由于明天八点就开始考试了,所以我得提前一天出发。已经看过前几年的题目和一些模拟题,我知道难度还是有的,心情也有些忐忑。毕竟这是一次“小高考”般的考试。但是情绪波动却不会很大。在过去的一两年里,我已经经历了许许多多(尤其是考试),偶尔有一些零碎的成功,但更多的是失败,于我而言,最重要的,是经验、体验。在人生的每一个驿站上,停留,赏景。

其实,真正快乐的不是成绩,而是用心投入到科学中,为自己取得一点点微不足道的成绩而高兴。

没有什么事情是不可挽救的,我欣赏刘欢的《从头再来》:心若在,梦就在,天地之间还有真爱;看成败,人生豪迈,只不过是从头再来...人生值得后悔的事情太多,也太少。

加油!