16 Nov

为什么勒贝格积分比黎曼积分强?

学过实变函数的朋友,总会知道有个叫勒贝格积分的东西,号称是黎曼积分的改进版。虽然“实变函数学十遍,泛函分析心泛寒”,在学习实变函数的时候,我们通常都是云里雾里的,不过到最后,在老师的“灌溉”之下,也就耳濡目染了知道了一些结论,比如“黎曼可积的函数(在有限区间),也是勒贝格可积的”,说白了,就是“勒贝格积分比黎曼积分强”。那么,问题来了,究竟强在哪儿?为什么会强?

黎曼.jpg 勒贝格.jpg

这个问题,笔者在学习实变函数的时候并没有弄懂,后来也一直搁着,直到最近认真看了《重温微积分》之后,才有了些感觉。顺便说,齐民友老师的《重温微积分》真的很赞,值得一看。

本是同根生,相煎何太急?

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6 Nov

【外微分浅谈】5. 几何意义

对于前面所述的外微分,包括后面还略微涉及到的微分形式的积分,都是纯粹代数定义的内容,本身不具有任何的几何意义。但是,我们可以将某些公式或者定义,与一些几何内容对应起来,使我们更深刻地理解它,并且更灵活运用它。但是,它仅仅是一种对应,而且取决于我们的诠释。比如,我们说外微分公式
$$\int_{\partial D} Pdx+Qdy = \int_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dx\land dy \tag{32} $$
对应于格林公式
$$\int_{\partial D} Pdx+Qdy = \int_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy \tag{33} $$
。这是没问题的,但它们并不等价,它们仅仅是形式上刚好一样。因为格林公式是描述闭合曲线的积分跟面积分的联系,而外微分的公式是一种纯粹的代数运算。因为你完全可以将$dx\land dy$对应于$-dxdy$而不是$dxdy$,这样就得到另外一种几何的对应。

更深刻的问题是:为什么恰好有这个对应?也就是说,为什么经过一些调整和诠释后,就能够得到与积分公式的对应?首先要明确的是外积与普通的数的乘积,除了反对称性之外,是没有任何区别的,因此不少性质得以保留;其次,还应该要回到反对称本身来考虑,矩阵的行列式代表着矩阵所对应的向量组张成的$n$维立体的体积,然而行列式是反对称的,这就意味着反对称运算跟体积、积分等有着先天的联系。当然,更细致的认识,笔者也还没做到。

此外,我们说寻求微分形式的几何意义,通常只是针对不超过3维的空间来讨论的,更高维的几何图像我们很难想象出来,尤其是高维的曲面积分,一般只是类比,但类比是否成立,有时还需要进一步商榷。因此,这种情况下,倒不如干脆点,说微分形式描述的东西就是几何,而不再去寻找所谓的几何意义了。也就是说,反过来,将微分形式和外微分作为公理式的第一性原理来定义几何。

甚至,你可以只将外微分当作是一种记忆各种微分、积分公式的有效途径,比如现在我要大家默写三维空间中的斯托克斯公式,大家估计会乱,因为不一定记得是哪个减哪个。但是在外微分框架下,可以很快地将它推导一遍。好比式$(11)$,如果非要寻求几何解释,那就是开普勒第二定律:单位时间内扫过的面积相等;然而没有几何解释,你依旧可以把方程解下去。

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15 Apr

斯特灵(stirling)公式与渐近级数

斯特灵近似,或者称斯特灵公式,最开始是作为阶乘的近似提出
$$n!\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$$
符号$\sim$意味着
$$\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n}{n!}=1$$
将斯特灵公式进一步提高精度,就得到所谓的斯特灵级数
$$n!=\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\left(1+\frac{1}{12n}+\frac{1}{288n^2}\dots\right)$$
很遗憾,这个是渐近级数。

相关资料有:
https://zh.wikipedia.org/zh-cn/斯特灵公式
https://en.wikipedia.org/wiki/Stirling%27s_approximation
本文将会谈到斯特灵公式及其渐近级数的一个改进的推导,并解释渐近级数为什么渐近。

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15 Feb

积分估计的极值原理——变分原理的初级版本

如果一直关注科学空间的朋友会发现,笔者一直对极值原理有偏爱。比如,之前曾经写过一系列《自然极值》的文章,介绍一些极值问题和变分法;在物理学中,笔者偏爱最小作用量原理的形式;在数据挖掘中,笔者也因此对基于最大熵原理的最大熵模型有浓厚的兴趣;最近,在做《量子力学与路径积分》的习题中,笔者也对第十一章所说的变分原理产生了很大的兴趣。

对于一样新东西,笔者的学习方法是以一个尽可能简单的例子搞清楚它的原理和思想,然后再逐步复杂化,这样子我就不至于迷失了。对于变分原理,它是估算路径积分的一个很强大的方法,路径积分是泛函积分,或者说,无穷维积分,那么很自然想到,对于有限维的积分估计,比如最简单的一维积分,有没有类似的估算原理呢?事实上是有的,它并不复杂,弄懂它有助于了解变分原理的核心思想。很遗憾,我并没有找到已有的资料描述这个简化版的原理,可能跟我找的资料比较少有关。

从高斯型积分出发

变分原理本质上是Jensen不等式的应用。我们从下述积分出发
$$\begin{equation}\label{jifen}I(\epsilon)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2-\epsilon x^4}dx\end{equation}$$

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30 Aug

封闭曲线所围成的面积:一个新技巧

本文主要做了一个尝试,尝试不通过Green公式而实现将封闭曲线的面积与线积分相互转换。这种转换的思路,因为仅仅利用了二重积分的积分变换,较为容易理解,而且易于推广。至于这种技巧是否真正具有实际价值,还请读者评论。

假设平面上一条简单封闭曲线由以下参数方程给出:
\begin{equation}\left\{\begin{aligned}x = f(t)\\y = g(t)\end{aligned}\right.\end{equation}
其中参数$t$位于某个区间$[a,b]$上,即$f(a)=f(b),g(a)=g(b)$。现在的问题是,求该封闭曲线围成的区域的面积。

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26 Apr

高斯型积分的微扰展开(三)

换一个小参数

比较《高斯型积分的微扰展开(一)》《高斯型积分的微扰展开(二)》两篇文章,我们可以得出关于积分
$$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ax^2-\varepsilon x^4} dx\tag{1}$$
的两个结论:第一,我们发现类似$(4)$式的近似结果具有良好的性质,对任意的$\varepsilon$都能得到一个相对靠谱的近似;第二,我们发现在指数中逐阶展开,得到的级数效果会比直接展开为幂级数的效果要好。那么,两者能不能结合起来呢?

我们将$(4)$式改写成
$$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ax^2-\varepsilon x^4} dx\approx\sqrt{\frac{2\pi}{a+\sqrt{a^2+6 \varepsilon}}}=\sqrt{\frac{\pi}{a+\frac{1}{2}\left(\sqrt{a^2+6 \varepsilon}-a\right)}}\tag{6}$$

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16 Apr

采样定理:有限个点构建出整个函数

假设我们在听一首歌,那么听完这首歌之后,我们实际上在做这样的一个过程:耳朵接受了一段时间内的声波刺激,从而引起了大脑活动的变化。而这首歌,也就是这段时间内的声波,可以用时间$t$的函数$f(t)$描述,这个函数的区间是有限的,比如$t\in[0,T]$。接着假设另外一个场景——我们要用电脑录下我们唱的歌。这又是怎样一个过程呢?要注意电脑的信号是离散化的,而声波是连续的,因此,电脑要把歌曲记录下来,只能对信号进行采样记录。原则上来说,采集的点越多,就能够越逼真地还原我们的歌声。可是有一个问题,采集多少点才足够呢?在信息论中,一个著名的“采样定理”(又称香农采样定理,奈奎斯特采样定理)告诉我们:只需要采集有限个样本点,就能够完整地还原我们的输入信号来!

采集有限个点就能够还原一个连续的函数?这是怎么做到的?下面我们来解释这个定理。

任意给定一个函数,一般来说我们都可以将它做傅里叶变换:
$$F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)e^{i\omega t}dt\tag{1}$$
虽然我们的积分限写了正负无穷,但是由于$f(t)$是有限区间内的函数,所以上述积分区间实际上是有限的。

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7 Mar

高斯型积分的微扰展开(二)

为什么第二篇姗姗来迟?

其实要写这系列之前,我已经构思好了接下来几篇的内容,本来想要自信地介绍自己想到的一些积分展开的技巧;而且摄动法我本身就比较熟悉,所以正常来说不会这么迟才有第二篇。然而,在我写完第一篇,准备写第二篇的期间,我看到了知乎上的这篇回复:
http://www.zhihu.com/question/24735673
这篇文章大大地拓展了我对级数的认识。里边谈及到了积分的展开是一个渐近级数。这让我犹豫了,怀疑这系列有没有价值,因为渐近级数意味着不管怎样的展开技巧,得到的级数收敛半径都是0。

后来再想想,就算是渐近级数,也有改进的空间,有加速收敛的方法,所以我想我这几篇文章,应该还有一点点意义吧,还可以顺便介绍一下渐近级数和奇点的相关理论。嗯,就这么办吧。

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