13 Jan

当概率遇上复变:从二项分布到泊松分布

泊松分布,适合于描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布,如某一服务设施在一定时间内受到的服务请求的次数、汽车站台的候客人数等。[维基百科]泊松分布也可以作为小概率的二项分布的近似,其推导过程在一般的概率论教材都会讲到。可是一般教材上给出的证明并不是那么让人赏心悦目,如《概率论与数理统计教程》(第二版,茆诗松等编)的第98页就给出的证明过程。那么,哪个证明过程才更让人点赞呢?我认为是利用母函数的证明。

二项分布的母函数为
\begin{equation}(q+px)^n,\quad q=1-p\end{equation}

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12 Oct

集合的划分与贝尔数

集合上的一个等价关系决定了几何的一个划分,反之亦然,这直观上是不难理解的。但是,如果我要问一个有$n$个元素的有限集合,共有多少种不同的划分呢?以前感觉这也是一个很简单的问题,就没去细想,但前天抽象代数老师提到这是一个有相当难度的题目,于是研究了一下,发现里面大有文章。这里把我的研究过程简单分享一下,读者可以从中看到如何“从零到有”的过程。

以下假设有$n$个元素的有限集合为$\{1,2,\dots,n\}$,记它的划分数为$B(n)$。

前期:暴力计算

$n=3$的情况不难列出:
$$\begin{aligned}&\{\{1,2,3\}\},\{\{1,2\},\{3\}\},\{\{1,3\},\{2\}\},\\
&\{\{2,3\},\{1\}\},\{\{1\},\{2\},\{3\}\}\end{aligned}$$

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16 Sep

生成函数法与整数的分拆

我们在高中甚至初中,都有可能遇到这样的题目:

设$x,y,z$是非负整数,问$x+y+z=2014$有多少组不同的解?(不同顺序视为不同的解)

难度稍高点,可以改为

设$x,y,z$是非负整数,$0\leq x\leq y\leq z$,问$x+y+z=2014$有多少组不同的解?

这些问题都属于整数的分拆问题(广为流传的哥德巴赫猜想也是一个整数分拆问题)。有很多不同的思路可以求解这两道题,然而,个人认为这些方法中最引人入胜的(可能也是最有力的)首推“生成函数法”。

关于生成函数,本节就不多作介绍了,如果缺乏相关基础的朋友,请先阅读相关资料了解该方法。不少数论的、离散数学的、计算机科学的书籍中,都介绍了生成函数法(也叫母函数法)。本质上讲,母函数法能有诸多应用,是因为$x^a\times x^b=x^{a+b}$这一性质的成立。

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30 Apr

当概率遇上复变:随机游走基本公式

笔者发现,有很多概率问题,尤其是独立重复实验问题,如果用生成函数的方法来做,会显得特别方便。本文要讲的“随机游走”问题便是其中一例,它又被形象地叫做“醉汉问题”,其本质上是一个二项分布,但是由于取了极限,出现了很多新的性质和应用。我们先考虑如下问题:

考虑实数轴上的一个粒子,在$t=0$时刻它位于原点,每过一秒,它要不向前移动一格(+1),要不就向后移动一格(-1),问$n$秒后它所处位置的概率分布。

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25 Apr

当概率遇上复变:解析概率

每当看到数学的两个看似毫不相关的分支巧妙地联系了起来时,我总会为数学的神奇美丽惊叹不已。在很久以前,当我看到通过生成函数法把数论问题与复变函数方法结合起来,衍生出一门奇妙的“解析数论”时,我就惊叹过生成函数法的漂亮!可惜,一直都没有好好写整理这些内容。今天,当我在看李政道先生的《物理学中的数学方法》时,看到他把复变函数跟随机游动如鬼斧神工般了起来,再次让我拍案叫绝。最后实在压抑不住心中的激动,在此写写概率论和生成函数的事情。

数论与复变函数结合,就生成了一门“解析数论”,按照这个说法,概率与复变函数结合,应该就会有一门“解析概率”,但是我在网上搜索的时候,并没有发现这个名词的存在。经过如此,本文还是试用了这个名词。虽然这个名词没有流行,但事实上,解析概率的方法并不算新,它可以追溯到伟大的数学家拉普拉斯以及他的著作《分析概率论》中。尽管如此,这种巧妙漂亮的方法似乎没有得到大家应该有的充分的认识。

我觉得,即使作为一个简洁的计算工具,生成函数法这个美丽的技巧,也应该尽可能为科学爱好者所知,更不用说数学专业的朋友了。

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16 Oct

以自然数幂为系数的幂级数

$\sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i=a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+...$
最近为了数学竞赛,我研究了有关数列和排列组合的相关问题。由于我讨厌为某个问题而设计专门的技巧,所以我偏爱通用的方法,哪怕过程相对麻烦。因此,我对数学归纳法(递推法)和生成函数法情有独钟。前者只需要列出问题的递归关系,而不用具体分析,最终把问题转移到解函数方程上来。后者则巧妙地把数列${a_n}$与幂级数$\sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i$一一对应,巧妙地通过代数运算或微积分运算等得到结果。这里我们不用考虑该级数的敛散性,只需要知道它对应着哪一个“母函数”(母函数展开泰勒级数后得到了级数$\sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i$)。显然,这两种方法的最终,都是把问题归结为代数问题。

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