12 Nov

实数域上有限维可除代数只有四种

今天上近世代数课,老师谈到除环,举了一个非交换的除环的粒子,也就是四元数环,然后谈到“实数域上有限维可除代数只有4种”,也就是实数本身、复数、四元数和八元数(这里的可除代数就是除环)。这句话我听起来有点熟悉,又好像不大对劲。我记得在某本书上看过,定义为实数上的超复数系,如果满足模的积性,那么就只有以上四种。但是老师的那句话表明即使去掉模的积性,也只有四种。我自然以为老师记错了,跟老师辩论了一翻,然后回到宿舍又找资料,最终确定:实数域上有限维可除代数真的只有四种!下面简单谈谈我对这个问题的认识。

当然,这里不可能给出这个命题的证明,因为这个证明相当不简单,笔者目前也没有弄懂,但是粗略感觉一下为什么,还是有可能的。看到这个命题,我们一下子的感觉可能是:怎么会这么少!我们这里通过例子简单说明一下,确实不会多!

我们已经对复数系很熟悉了,也就是定义在实数上的向量空间,基为$\{1,i\}$,并且给定乘法为
$$1\times i=i \times 1=i,\quad 1^2=1,\quad i^2=-1$$

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17 Aug

从费马大定理谈起(四):唯一分解整环

在小学的时候,数学老师就教我们除法运算:

被除数 ÷ 除数 = 商 + 余数

其中,余数要小于除数。不过,我们也许未曾想到过,这一运算的成立,几乎是自然数$\mathbb{N}$所有算术(数论)运算性质成立的基础!在代数中,上面的运算等式称为带余除法(division algorithm)。如果在一个整环中成立带余除法,那么该整环几乎就拥有了所有理想的性质,比如唯一分解性,也就是我们说的算术基本定理。这样的一个整环,被称为唯一分解整环(Unique factorization domain)。

欧几里得整环

Euklid-von-Alexandria_1.jpg唯一分解定理说的是在一个整环之中,所有的元素都可以分解为该整环的某些“素元素”之积,并且在不考虑元素相乘的顺序和相差单位数的意义之下,分解形式是唯一的。我们通常说的自然数就成立唯一分解定理,比如$60=2^2\times 3\times 5$,这种分解是唯一的,这看起来相当显然,但实际上唯一分解定理相当不显然。首先,并不是所有的整数环都成立唯一分解定理的,我们考虑所有偶数组成的环$2\mathbb{Z}$,要注意,在$2\mathbb{Z}$中,2、6、10、30都是素数,因为它们无法分解成两个偶数的乘积了,但是$60=6\times 10=2\times 30$,存在两种不同的分解,因此在这样的数环中,唯一分解定理就不成立了。

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