27 Mar

海伦公式的一个别致的物理推导

海伦公式是已知三角形三边的长度$a,b,c$来求面积$S$的公式,是一个相当漂亮的公式,它不算复杂,同时它关于$a,b,c$是对称的,充分体现了三边的同等地位。可是,这样具有对称美的公式推导,往往要经过一个不对称的过程,比如维基百科上的证明,这未免有点美中不足。本文的目的,就是想为此补充一个对称的推导。本文题目为“物理推导”,关键在于“推导”而不是“证明”,同时这里的“物理”并非是通过物理类比而来,而是推导的思想和方法很具有“物理味道”。

$$\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

在推导开始之前,笔者给出一个评论:海伦公式似乎是由三边长求三角形面积的所有可能的公式之中最简单的一个。

阅读剩余部分...

25 Feb

翻到新的维度,把积分解决!

一般来说,如果原函数容易找到的话,牛顿-莱布尼兹公式是定积分的通用方法。但是牛顿-莱布尼兹公式只适合连续函数的积分,如果积分区间含有奇点,那就不成立了。比如,我们考虑积分
$$\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2}dx$$
当然,从严格的数学上来说,这种写法是不成立的,因为被积函数在原点没有意义。当然,从物理的角度来考虑,由于对称性,我们确信
$$\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2}dx=2\int_{0}^1 \frac{1}{x^2}dx=\lim_{\varepsilon\to 0}2\int_{\varepsilon}^1 \frac{1}{x^2}dx$$
从而得出积分发散的结论。这种处理某种程度上是可以接受的,但是却不是让人满意的,因为它导致了分段。有什么办法可以直接处理这种情况呢?确实有的,同样引入参数,并且最终让参数为0,考虑带参数的积分
$$\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2+\varepsilon^2}dx$$
只要参数为正,这个被积函数就在$\mathbb{R}$上处处连续了,也就是奇点消失了,这样子就可以用牛顿-莱布尼兹公式了
$$\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2+\varepsilon^2}dx=\left.\frac{1}{\varepsilon}\arctan\left(\frac{x}{\varepsilon}\right)\right|_{-1}^{1}$$
考虑$\varepsilon\to 0$的情况,就自动得到了积分发散的结论。

阅读剩余部分...

22 Feb

炼钢.vs.做菜:淬火与过冷河

牛腩过冷河.jpg除了数学物理和中国象棋,我闲时也喜欢弄一下吃的。看到各种菜料经过自己的加工变成佳肴,也是一件美不胜收的事情;有时看到同样的菜料能够做出不同款式、不同味道的菜时,更是其乐无穷。作为广东人,我很自豪于其中一句话:“广东人吃所有东西——天上飞的,除了飞机;地上爬的,除了火车;水中游的,除了潜艇”。虽然不免有些夸张,但这句话充分显示了广东人(或者说岭南地区)饮食和烹饪的强大本领。我的厨房技术来源于我妈妈,小时候妈妈在家里做菜,由于是烧柴草生火,所以我得在灶前看好火。于是看火之时也在看妈妈做菜,久而久之,也会学会了一些做菜的方法。而现在,妈妈仍是家里的厨房好手,而我也不时进入厨房,做做自己喜欢吃的东西。谢谢我的好妈妈!

炼钢

本文叫“炼钢.vs.做菜”,这两者基本上是风牛马不相及,不过我却发现它们有一点点相似的技巧。已不记得什么时候了,在一本自然科学的书上,我曾看到过炼钢的两种技术:淬火和退火(后来发现还有正火、回火等,原理类似)。简单来说,淬火是将一块钢铁烧红,然后放进冷水中迅速冷却(也就是加热到一定温度,然后迅速冷却),如此重复,便可使得钢铁变硬,但同时也会更脆;退火则刚刚相反,它是将钢铁烧红后,让它自然冷却(有必要时,想办法降低冷却速度),如此一来,钢铁变软了,也变韧了。正火、回火均与退火类似,只是在细节上不同。通过淬火和退火的适当组合,可以生产出硬度和韧度都适当的钢铁。

阅读剩余部分...

28 Dec

《费恩曼物理讲义》在线版

在线阅读地址:
http://www.feynmanlectures.caltech.edu/

刚在浏览《朗道集结号》的微博时,发现了这一造福大众的消息。难得的是,这个在线版通过MathJax使用Latex排版,阅读效果完全丝毫不输于纸质版的,还可以自由复制。只是遗憾只有英文版的,也许有一天心血来潮,我也弄个在线的中文版出来,呵呵。一切皆有可能。

费曼的物理讲义是一套地地道道的物理书,它是一次美妙的物理之旅。纵使你可能已经读过相当多的物理教材,但是读读费曼的讲义还是大有裨益的,它给我们讲述了什么才是物理,怎么才能学物理。

18 Oct

证明光速不变的一个理想实验??

在狭义相对论发表之前和之后,都有不少实验从不同角度论证了它的正确性。这些实验大多数是实际测量得出结果的,当然也存在着一些“理想实验”,这些实验只需要一定的逻辑推理,而实际上是无法完成的。下面就是我很久之前在某本书(很抱歉,我真的忘记书名了)看到的一个用来推翻光速可叠加的伽利略变换的理想实验。它只用寥寥几句,就好像已经证明了“c+c=c”(c是真空中的光速)的事实。可是“c+c=c”在狭义相对论上是作为原理出现的,是不可能通过逻辑推理来证明的。事实究竟如何?我们先来看这个实验。

光速不变的理想实验.png

任意选定一个坐标原点。设想原点的正北方$c*t_0$处有一架以光速$c$朝南运行的飞机1;原点的正西方$c*t_0$处有一架以光速$c$朝东运行的飞机2。假设就这样匀速运动着,显然,$t_0$时间后,将会发生惨剧(飞机相撞)。

阅读剩余部分...

27 Nov

《自然极值》系列——1.前言

附:期中考过后,课程紧了,自由时间少了,因此科学空间的更新也放缓了。不过BoJone也会尽量地更新一些内容,和大家一同分享学习的乐趣。

闭区间[a,b]上的连续函数?(x),其最大值为红色点,最小值为蓝色点

上一周和这一周的时间里,BoJone将自己学习物理和极值的一些内容进行了总结和整合,写成了《自然极值》一文。因此从今天起,到十二月的大多数时间里,科学空间将和大家讲述并讨论关于“极值”的问题,希望读者会喜欢这部分内容。当然,我不是专业的研究人员,更不是经验丰富的物理和数学教师,甚至可以说是一个“乳臭未干的小子”,因此,错误在所难免,只希望同好不吝指出,更希冀能够起到我抛出的这一块“砖”能够引出美妙的“玉”。

阅读剩余部分...

5 Oct

2010诺奖再次光临英国——物理学奖

安德烈-盖姆.jpg 康斯坦丁-诺沃肖洛夫.jpg

新浪科技讯 据外国媒体报道,两位在俄罗斯出生的科学家安德烈-盖姆和康斯坦丁-诺沃肖洛夫10月5日因为对石墨烯的“突破性实验”而获得2010年宝贝尔物理学奖,这种材料预计将在电子学发挥重要作用。

阅读剩余部分...

7 Oct

背景资料:从数字看诺贝尔物理学奖

2009年诺贝尔物理学奖于6日公布,英国华裔科学家高锟以及美国科学家威拉德·博伊尔和乔治·史密斯摘得桂冠。以下是关于诺贝尔物理学奖的一些数字:

1、诺贝尔物理学奖从1901年开始颁奖,但并非年年颁奖,1916年、1931年、1934年、1940年、1941年和1942年都没有颁奖。之所以这6年没颁奖,是因为第一次世界大战和第二次世界大战的发生,或因为没有人符合获得诺贝尔奖的那些条件。

2、到今年为止,一名科学家独享诺贝尔物理学奖有47次,而两名科学家和三名科学家分享诺贝尔物理学奖的次数相同,都是28次。按诺贝尔基金会的规定,不会有3人以上同时获得一个奖项。

阅读剩余部分...