25 Oct

从费马大定理谈起(十二):再谈谈切线法

首先谈点题外话,关于本系列以及本博客的写作。其实本博客的写作内容,代表了笔者在这段时间附近的研究成果。也就是说,我此时在写这篇文章,其实表明我这段时间正在研究这个问题。而接下来的研究是否有结果,有怎样的结果,则是完全不知道的。所以,我在写这篇文章的时候,并不确定下一篇文章会写些什么。有些类似的话题,我会放在同一个系列去写。但不管怎样,这些文章可能并不遵循常规的教学或者学习思路,有些内容还可能与主流的思想方法有相当出入,请读者见谅,望大家继续支持!

上一篇我们谈到了切线法来求二次和三次曲线的有理点。切线法在寻找不高于三次的曲线上的有理点是很成功的,可是对于更高次的曲线有没有类似的方法呢?换句话说,有没有推广的可能性。我们从纯代数的角度来回复一下切线法生效的原因。切线法,更一般的是割线法,能够起作用,主要是因为如果有理系数的三次方程有两个有理数的根,那么第三个根肯定是有理数。如果只有一个已知的有理根,那么就可以让两个根重合为已知的那个根,从而割线变成了切线。

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24 Oct

从费马大定理谈起(十一):有理点与切割线法

圆上的有理点.png我们在这个系列的文章之中,探索了一些有关环和域的基本知识,并用整环以及唯一分解性定理证明了费马大定理在n=3和n=4时的情形。使用高斯整数环或者艾森斯坦整数环的相关知识,相对而言是属于近代的比较“高端”的代数内容(高斯生于1777年,艾森斯坦生于1823年,然而艾森斯坦英年早逝,只活到了1852年,高斯还活到了1855年。)。如果“顺利”的话,我们可以用这些“高端”的工具证明解的不存在性,或者求出通解(如果有解的话)。

然而,对于初等数论来讲,复数环和域的知识的门槛还是有点高了。其次,环和域是一个比较“强”的工具。这里的“强”有点“强势”的意味,是指这样的意思:如果它成功的话,它能够“一举破城”,把通解都求出来(或者证明解的不存在);如果它不成功的话,那么往往就连一点非平凡的解都求不出来。可是,有些问题是求出一部分解都已经很困难了,更不用说求出通解了(我们以后在研究$x^4+y^4 = z^4 + w^4 $的整数解的时候,就能深刻体会这点。)。因此,对于这些问题,单纯用环域的思想,很难给予我们(至少一部分)解。(当然,问题是如何才算是“单纯”,这也很难界定。这里的评论是比较粗糙的。)

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