4 May

[问题解答]运煤车的最大路程(更正)

刚刚在浏览卢昌海大师的微博时,发现他微博上有一道比较有趣的题目,于是饶有兴致地思考了一翻,构思了一个答案,希望读者们看看这个答案有问题不?

五一”长假微博很闷,出一道题给博友们解闷:

用重载列车运煤,每次可装1万吨,每行驶1公里耗煤1吨,起点处共有N万吨煤(简单起见N为正整数),请问最远可运至何处(是国营煤老板,成本不计,只要运到的数量大于0就算成功)?并求$N\to\infty$时的渐进形式。

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25 Jul

收谷问题(1)

在农村,7月是忙碌的月份,农民们要忙着收割稻谷,收割完后要晒谷,同时还得准备“下秧”,准备新一轮的耕,BoJone家自然也不例外。不过我家田比较少(1亩左右),收割机几分钟搞定,谷也三两天就晒完了。不过在晒谷的时候,BoJone在考虑一个“收谷”问题:

晒谷时得先把成堆的谷子摊开,薄薄地平铺在平地上,等到傍晚或即将下雨时(这是最惨的情况,搞不好会淋谷)就将其收起来。问题就源于这里,一般来说我们会把谷均匀地铺成矩形,要把所有的谷都推到矩形里或外的哪一点上,才使得我们做功做小?

这个问题还可以推广开来,例如对于一地任意形状的谷子(如三角形),把它集中堆到哪个点最“轻松”?一堆固定质量的谷子,要把它平铺成什么形状,才使得收谷时最“轻松”?当然,这个问题的解不仅仅用于“收谷”,在很多规划建设中也可以应用到,例如要在一个人口大致均匀的城市中建设一个服务中心,这个服务中心应该建在哪里?这有点类似于我们之前讨论过的费马点问题 ,都是费马点只考虑了三个点的距离,而这个问题得考虑所有点的距离。

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30 Apr

蘑菇的最优形状模型

淡白口蘑.jpg达尔文的进化学说告诉我们,自然界总是在众多的生物中挑出最能够适应环境的物种,赋予它们更高的生存几率,久而久之,这些物种经过亿万年的“优胜劣汰”,进化成了今天的千奇百怪的生物。无疑,经过长期的选择,优良的形状会被累积下来,换句话讲,这些物种在某些环境适应能力方面已经达到最优或近乎最优的状态(又是一个极值问题了)。好,现在我们来考虑蘑菇。

蘑菇是一种真菌生物,一般生长在阴暗潮湿的环境中。喜欢湿润的它自然也不希望散失掉过多的水分,因此,它努力地调整自身的形状,使它的“失水”尽可能地少。假设单位面积的蘑菇的失水速度是一致的,那么问题就变成了使一个给定体积的立体表面积尽可能少的问题了。并且考虑到水平各向同性生长的问题,理想的蘑菇形状应该就是一个平面图形的旋转体。那么这个旋转体是什么呢?聪明的你是否想到了是一个球体(的一部分)呢?

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28 Nov

《自然极值》系列——4.费马点问题

通过上面众多的文字描述,也许你还不大了解这两个原理有何美妙之处,也或者你已经迫不及待地想去应用它们却不知思路。为了不至于让大家产生“审美疲劳”,接下来我们将试图利用这两个原理对费马点问题进行探讨,看看原理究竟是怎么发挥作用的。运用的关键在于:如何通过适当的变换将其与光学或势能联系起来。

费马点问题.PNG

传统费马点问题是指在ΔABC中寻找点P,使得$AP+BP+CP$最小的问题;而广义的费马点则改成使$k_1 AP+k_2 BP+k_3 CP$最小。这是很具有现实意义的,是“在三个村庄之间建立一个中转站,如何才能使运送成为最低”之类的最优问题。我们将从光学和势能两个角度对这个问题进行探讨(也许有的读者已经阅读过了利用重力的原理来求解费马点,但是我想光学的方法依然会是你眼前一亮的。

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