24 Dec

用二次方程判别式判断正定矩阵

快要学期末了,不少学霸开始忙碌起来了。不过对非学霸的我来说,基本上每天都是一样的,希望把自己感兴趣的东西深入研究下去,因为我觉得,真正学会点有用的东西才是最重要的。数学分析和高等代数老师都要求写课程论文,我也写了我比较感兴趣的“欧拉数学”和“超复数研究”,之后会把这部分内容与大家分享。

虽然学期已经接近尾声了,但是我们的课程还没有上完。事实上,我们的新课一直上到十八周~随着考试的接近,我们的《高等代数》课程也已经要落幕了。最近在上的是二次型方面的内容,讲到正定二次型和正定矩阵。关于正定矩阵的判别,教科书上提供了两个判别方法,一个是基于定义的初等变换,另外一个就是主子式法。前者无可厚非,但是后者我似乎难以理解——它虽然是正确的,但是它很丑,计算量又大。我还没有想清楚主子式法到底有什么好的?在我看来,本文所探讨的基于二次方程判别式的方法才是简单、快捷的。

正定二次型
所谓正定二次型,就是关于n个变量$x_1,x_2,...,x_n$的二次齐次函数,只要$x_i$不全为0,它的值恒为正数。比如
$$2 x_1^2+x_2^2-2 x_1 x_2=x_1^2+(x_2-x_1)^2$$
这是一个比较简单的正定二次型,多元的还有
$$5 x_1^2+x_2^2+5 x_3^2+4 x_1 x_2-8 x_1 x_3-4 x_2 x_3$$

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22 May

当Matlab遇上牛顿法

牛顿法是求方程近似根的一个相当有用而且快捷的方法,我们最近科学计算软件课程(Matlab)的一个作业就是编写求方程近似解的程序,其中涉及到牛顿法。我们要实现的目标是,用户输入一道方程,脚本就自动求出根来。这看起来是一个挺简单的循环迭代程序,但是由于Matlab本身的特殊性,却产生了不少困难。

Matlab是为了数值计算(尤其是矩阵运算)而生的,因此它并不擅长处理符号计算。这就给我们编程带来了困难。在网上随便一搜,就可以发现,网上的Matlab牛顿法程序都是要求用户同时输入方程及其导函数,这显然是不方便的,因为Matlab本身就具备了求导功能。下面我们来分析一下困难在哪里。

我们要实现的最基本功能是定义一个函数,然后可以根据该函数求具体的函数值,并且自动求该函数的导数,接着求导数值。这些看起来很基本的功能在Matlab中却很难调和,因为Matlab的“函数”定义很广,一个具有特定功能的M文件叫“函数”,一个运算式$f(x)$也可能是一个函数,显然后者是可以求导的,前者却不行,所以Matlab一刀砍——不能对函数求导!!

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11 Dec

薛定谔方程的启发式推导

===聊聊天===

上个月在网上买了三本相对论教材和一本《量子力学概论》,本打算好好研究下相对论的数学体系,可是书到了之后,我却深深地被量子力学吸引住了,不停在研读。而且在研究量子力学的同时,我的线性代数和微分方程知识也增加了不少,这确实是我没有想到的。在我看来,不管是狭义相对论还是广义相对论,它本质上都是一种几何理论,你总要想象从一个参考系观测会发生什么,然后从另外一个参考系又会看到什么;而量子力学虽然对我来讲一切都是新鲜的,但是它的数学性比较强,主要是微分方程的求解和理解。我想这也是我对量子力学更感兴趣的原因吧,因为我善于代数而不善于几何。

量子力学中让我最神往的内容莫过于费曼所发明的路径积分形式。资料记载费曼用他发明的方法在一个晚上就算出了别人几个月才算出来的结果,可见路径积分形式的优越性。当然,我也清楚,这个路径积分并不简单,它涉及到了泛函积分这一非常高深的内容,对于我这个连数学分析都还没有学好的小孩来说,泛函是难以触摸的。不过,我还是尽量想办法向它靠近。为此,我还浏览到了一些不少让人兴奋的内容,比如薛定谔的方程的推导、力学-光学类比、雅可比方程等等。

很遗憾,在正统的量子力学教材中,这些让我很兴奋的内容却鲜有涉及,有的话大多数都是一笔带过的感觉。多数量子力学不会讲到路径积分,就算有也只是作为附录。对于薛定谔方程的推导,也没有涉及到。这也让我养成了一个习惯意识:书本最有趣的东西往往都是在附录。所以对于教科书,那么写得正正式式的内容我一概没有兴趣,那些附录内容才是我最喜欢读的。可是,那些让人兴奋的内容却不一定是很难的,就像下面的薛定谔方程的启发式推导,它不仅不难,而且易于理解。

===薛定谔方程===

在量子力学诞生之前,科学家已经通过实验发现光既有波动性也有粒子性,而德布罗意提出也同时具有波动性和粒子性,这些都奠定了量子力学的基础。根据量子论,一个光子的能量可以由$E=h\nu=\hbar (2\pi \nu)$,其中$\nu$是频率,$\hbar=\frac{h}{2\pi}$,h是普朗克常数,习惯记$\omega=2\pi \nu$,即$E=\hbar \omega$。

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19 Jul

一道整数边三角形题目

这是一道来自“数联天地”的题目:

三边长均为整数的三角形,周长为1000,其中一个内角是另外一个内角的两倍。求三边长度

咋看上去这是一道几何题目,但实际上这是一道初等数论题,而且主要是不定方程问题。类似的题目在数学竞赛中其实有可能出到,在这里和大家探讨一番。话说回来,其实笔者小时候很喜欢数论方面的内容的,在小学和初中,经常围绕着“素数”、“完全数”、“亲和数”、“大数分解”等等名词钻研看书。现在学习了微积分等内容之后,兴趣逐渐转向了实用性较强的数学,因而数论内容的水平不高,大家见笑了。

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28 May

遐思1:n次代数方程的解可以这样表示吗?

打从科学空间建立起,就已经设立了“问题百科”这一个分类,但内容一直都很少,主要是平时太懒去总结一些问题。现在得要养成善于思考、总结的习惯了。

前几天到网上印刷了《天遇》和《无法解出的方程》来阅读,两者都是我很感兴趣的书。想当初在初中阶段阅读《数学史选讲》时,我最感兴趣的就是解方程方面的内容(根式解),通过研究理解了1到4次方程的求根公式,并通过阅读知道了4次以上的代数方程没有一般的根式可解。这在当时是多么值得高兴的一件事情!!

现在,稍稍阅读了《无法解出的方程》后,结合我之前在代数方程方面的一些总结,提出一个问题:

若任意的一元n次方程$\sum_{i=0}^{n} a_i x^i=0$的根记为$x_i=R_{n,i}(a_0,a_1,...,a_n)$

那么,是否存在大于3的n,使得任意的一元(n+1)次方程的根能够用加、减、乘、除、幂、开方以及$R_{j,i}$(j可以是1到n的任意整数)通过有限步骤运算出来?

这个问题可以换一个近似但不等价的说法

若一元1次、2次、...、n次均可以根式解答,那么一元(n+1)次方程能否有根式解?

也就是说,(n+1)次方程的根能够表示成 1到n次方程的根与加、减、乘、除、幂、开方的有限次运算?

(不考虑前提的正确与否,显然n=4已经不成立了,当时n=5,6,7,8,...等有没有可能呢?)

期待有人能够解决^_^

29 Apr

从对称角度看代数方程

大马国油双峰塔.jpg这些日子来,BoJone迷上了两个东西:最小作用量和对称。这两个“东西”在物理学中几乎占据着最重要的地位,前边已经说过,通过最小作用量原理能够构建起当代整个物理学的框架,体现着自然界的“经济头脑”;后者则是守恒的体现,也对应着自然界的“美感”。本文主要是从最简单的层面谈谈对称。

对称的东西很重要,很美。当然,这里所指的是数学上的对称。数学上有很多问题都可以列出对称的式子,而且由于其对称性,因此求解过程一般比不对称的式子简单不少。据说,当代最前沿的物理学框架都是用群论描述的(包括广义相对论),而群论正是用来研究对称的有力工具,可见,对称和对称的方法在实际中有着广泛的应用。(当然本文不讨论群论,关键是BoJone也不懂群论...^_^)

我们先来看二次方程,根据韦达定理,二次方程都可以表达成下面的形式:
$x_1+x_2=a$
$x_1 x_2=b$

这是一个多对称的形式!这里的对称体现在将$x_1,x_2$互相替换后方程形式依然不变。如果我们设$x_1=y_1+y_2,x_2=y_1-y_2$,就可以变成
$2y_1=a,y_1^2-y_2^2=b$

这样很快就求出$y_1,y_2$了,继而能够求出方程的两个根。

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19 Feb

《方程与宇宙》:一种有趣的三体问题坐标

通常来说,选取惯性系为参考系,列出的三体问题方程为
$\ddot{\vec{r}}_k=\sum_{i=1,i != k}^{n} Gm_i\frac{\vec{r}_i-\vec{r}_k}{|\vec{r}_i-\vec{r}_k|^3}$

历史上出现过很多不同形式的变换,使得三体问题的运动方程有了各样的形式,如Lagrange形式、Jacobi形式、Hamilton形式等。这些变换形式都各有特点,都能够在一定程度上化简三体问题。BoJone在研究摆弄等质量型三体问题的运动方程时,也发现了一种很有趣的变换,在此贴出与大家分享。

设$\vec{R}_1=\vec{r}_1-\vec{r}_2,\vec{R}_2=\vec{r}_2-\vec{r}_3,\vec{R}_3=\vec{r}_3-\vec{r}_1$,则三体问题的运动方程变为

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20 Jan

《方程与宇宙》:三体问题和它的初积分(六)

The Three Body Problem and its Classical Integration

很多天文爱好者都已经接触到了“二体问题”(我们在高中学习到的“开普勒三定律”就是内容之一),由于在太阳系中行星质量相对较小而且距离相对较远,应用“二体问题”的解对天体进行计算、预报等能够满足一定的近似需求。不过,如果需要更高精度的计算,就不能把其他行星的引力给忽略掉了,于是就产生了所谓N体问题(N-Body Problem),即N个质点尽在它们各自引力的相互作用下的运动规律问题。最简单的二体已经被彻底解决,而三体或更多体的问题则与二体大相径庭,因为庞加莱证明了,三体问题不能严格求解,而且这是一个混沌系统,任何微小的扰动都会造成不可预期的效果。

根据牛顿力学,选择惯性参考系,设三个质点分别为$M_1,M_2,M_3$,向径分别为$\vec{r_1},\vec{r_2},\vec{r_3}$,可以列出运动方程(以下的导数都默认是对时间t求导)

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