17 Jul

强大的整数数列网站OEIS?

OEIS?:http://oeis.org/

近段时间在研究解析数论,进一步感觉数论真是个奇妙的东西,通过它,似乎数学的各个方面——离散的和连续的,实数的和复数的,甚至物理的——都联系了起来。由此也不难体会到当初高斯(Gauss)会说“数学是科学的皇后,数论是数学的皇后。”了。今天,由于在研究素数的个数的上下界问题时,需要思考组合数
$$C_{n}^{2n}=\binom{2n}{n}=\frac{(2n)!}{n!\ n!}$$
最多能被2的多少次方整除。直觉告诉我,次数应该是随着$n$的增大而增大的,但事实却不是,比如$C_{15}^{30}$能够被16整除,但是$C_{20}^{40}$却最多只能被4整除,有种毫无规律的感觉,于是到群里问问各大神。其中,wayne提出

这个可以写个小程序算出一些数据,再在oeis上搜搜

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1 Jul

勾股数的通解及其推广

在之前的文章《几何的数与数的几何:超复数的浅探究》中,我们谈及过四元数。四元数源于把复数的$|(a+bi)(c+di)|=|a+bi|\times|c+di|$这一独特的性质进行高维推广。为什么偏爱这一性质?读者或许已经初步知道一些用到复数的这一性质的例子,有几何方面的,也有物理方面的,这一性质为处理模长相关问题带来了美妙的方便。本文介绍它在求三元二次齐次不定方程的整数通解中的应用,这一例子同样展示了复数这一性质的神奇,让我们不得不认同当初哈密顿为了将其推广到高维而不惜耗费十年光阴的努力。

勾股数问题

读者或许已经知道,勾股数,也就是满足
$$x^2+y^2=z^2$$
的所有自然数解,由下面公式给出
$$x=a^2-b^2,\quad y=2ab,\quad z=a^2+b^2$$

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21 Aug

有理直角三角形的面积能否为整数?

这是一个古老而有趣的问题,但在引入这个问题之前,我们首先来看一个简单的问题:

整数边直角三角形的面积能否为一个完全平方数?



答案是不能。我们可以举一些例子来检验一下,例如边长为3,4,5的直角三角形面积为6,6不是一个平方数;再如边长为5,12,13的直角三角形面积为30,30也不是一个平方数...当然,数学的最近目的是要求严格证明,而不是简单举例,否则就只得称为不完全归纳,这样得出来的是一个猜想,而不是“定理”,就好象著名的“哥德巴赫猜想”...本文我们将试图证明这个命题。

我们稍后还会发现,这个问题和以下问题是等价的:
是否存在一个面积为1的三边长都是有理数的直角三角形?

更让人意外的是,这个问题也等价于方程$x^4+y^4=z^4$并没有整数解,换句话说,我们要证明n=4时的“费马大定理”

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19 Jul

一道整数边三角形题目

这是一道来自“数联天地”的题目:

三边长均为整数的三角形,周长为1000,其中一个内角是另外一个内角的两倍。求三边长度

咋看上去这是一道几何题目,但实际上这是一道初等数论题,而且主要是不定方程问题。类似的题目在数学竞赛中其实有可能出到,在这里和大家探讨一番。话说回来,其实笔者小时候很喜欢数论方面的内容的,在小学和初中,经常围绕着“素数”、“完全数”、“亲和数”、“大数分解”等等名词钻研看书。现在学习了微积分等内容之后,兴趣逐渐转向了实用性较强的数学,因而数论内容的水平不高,大家见笑了。

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