22 Sep

军训中的数学——握手奇数次的人数

军训是比较辛苦,可是总有一些无聊的时刻。比如我们每次集合后的第一件事基本上都是站军姿,少则五分钟,长则二三十分钟,在这段时间里,头脑总得找点东西想才行,不然一动不动的,非常难熬。我就是在军训那些无聊的时刻里通过想数学问题来度过的。比如一有空余时间,我的头脑就浮现着级数$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{p}$、哥德巴赫猜想、稳定性问题啦等等,并不是说要做出什么大发现,只是为了渡过无聊时间,也是对自己的思维能力和想象能力的锻炼吧。

之前提到过,昨天我们的“格斗方阵”去大学城表演了。在去大学城的过程中,我的一位“战友”问了我一个这样的问题:

在一个相互握手的人群中,握手奇数次的人总是有偶数个。每两个人可以握多于一次的手

他还说这是爱因斯坦提问的。这可把我的兴致给调动起来了。(后来我在网上搜索,却发现不了这个问题跟爱因斯坦的任何联系...)下边是我的颇有戏剧性的思考过程。

人群的握手问题.png

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12 Feb

2012北约自主招生数学

其中前六题是选择题,具体情况记不起来了,其实也是挺简单的。不过有兴趣的朋友可以在本文的PDF附件查阅到试题(来自“空念远兮”数学网站)。

对了这个PDF文件的参考答案之后,BoJone发现我的选择题全对。而后三道大题我只做了最后两道,解法也和PDF中的不大一样,在此写出来与大家讨论。

1、求证:内角相等的圆内接五边形是正五边形。

这道题是我在最后十五分钟做出来的。一开始想到很多复杂的定理方法,后来发现它可以很简单证明。

如图是一个满足题目条件的五边形。
五边形.PNG

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18 Nov

[欧拉数学]黎曼ζ函数

欧拉数学的魅力在于,它运用类比的方法,把各个看似毫无关联的领域联系了起来,生动而巧妙地得出了正确的结果。他对$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...=\frac{\pi^2}{6}$的计算便是一个典型的例子。虽然论证过程未必严谨,但是那“神奇”的推导已经令我们拍案叫绝,而且往往发人深思。这种效果通常是严格论证难以实现的,它不仅给予我们答案,而且还给予了我们启迪:新的思想,新的方向;有时,它还揭示了各个学科之间内在而深刻的联系。下面我们来观察一下数论中的“黎曼ζ函数”和“金钥匙”!

黎曼ζ函数指的是:
$\xi (s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}=\frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+...$
本来s应该是一个实数,但是将复分析引入数论后,将s推广至复数具有更大的研究价值。

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2 Oct

[欧拉数学]素数有无穷多个的两个证明

素数是数的基本单元,就如同高楼大厦中的砖块一样。显然,素数有无穷多个是数论研究价值的前提。不然,数的研究就局限在有限个素数之内,那么很多数字就会失去了它们的魅力。就好比只有有限块砖头,就不能创建出建筑的奇迹一般。下面介绍两个关于素数无穷的经典证明,其中一个是欧几里得的证明,这是最原始、最简单的证法,相信很多读者已经学习过了,在此还是要提一下;另外一个是我在《怎样解题》中看到的,原作者是欧拉,也是一个非常美妙的证明。当然,本文强调的思想,论证过程可能会有一些不严谨的地方,请读者完善^_^

一、欧几里得证明

这个证明思想非常简单:若干个素数的积加上1后会产生新的素数因子。要是素数只有n个,那么我们就把它们相乘,然后加上1,得到的将会是什么呢?如果是一个素数,那么将会与素数只有n个矛盾;如果是一个合数,它除以原来的n个素数都不是整数,那么它就会拥有新的素数因子了,这还是和只有n个素数矛盾。不论哪种情况,只有素数有限,就会得出矛盾,于是素数必然是无限的。

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19 Jul

一道整数边三角形题目

这是一道来自“数联天地”的题目:

三边长均为整数的三角形,周长为1000,其中一个内角是另外一个内角的两倍。求三边长度

咋看上去这是一道几何题目,但实际上这是一道初等数论题,而且主要是不定方程问题。类似的题目在数学竞赛中其实有可能出到,在这里和大家探讨一番。话说回来,其实笔者小时候很喜欢数论方面的内容的,在小学和初中,经常围绕着“素数”、“完全数”、“亲和数”、“大数分解”等等名词钻研看书。现在学习了微积分等内容之后,兴趣逐渐转向了实用性较强的数学,因而数论内容的水平不高,大家见笑了。

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