9 Jun

路径积分系列:5.例子和综述

路径积分方法为解决某些随机问题带来了新视角.

一个例子:股票价格模型

考虑有风险资产(如股票),在$t$时刻其价格为$S_t$,考虑的时间区间为$[0,T]$,0表示初始时间,$T$表示为到期日. $S_t$看作是随时间变化的连续时间变量,并服从下列随机微分方程:
$$dS_t^0=rS_t^0 dt;\quad dS_t=S_t(\mu dt+\sigma dW_t).\tag{70}$$
其中,$\mu$和$\sigma$是两个常量,$W_t$是一个标准布朗运动.

关于$S_t$的方程是一个随机微分方程,一般解决思路是通过随机微积分. 随机微积分有别于一般的微积分的地方在于,随机微积分在做一阶展开的时候,不能忽略$dS_t^2$项,因为$dW_t^2=dt$. 比如,设$S_t=e^{x_t}$,则$x_t=\ln S_t$
$$\begin{aligned}dx_t=&\ln(S_t+dS_t)-\ln S_t=\frac{dS_t}{S_t}-\frac{dS_t^2}{2S_t^2}\\
=&\frac{S_t(\mu dt+\sigma dW_t)}{S_t}-\frac{[S_t(\mu dt+\sigma dW_t)]^2}{2S_t^2}\\
=&\mu dt+\sigma dW_t-\frac{1}{2}\sigma^2 dW_t^2\quad(\text{其余项均低于}dt\text{阶})\\
=&\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2\right) dt+\sigma dW_t\end{aligned}
,\tag{71}$$

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9 Jun

路径积分系列:4.随机微分方程

本章将路径积分用于随机微分方程,并且得到了与不对称随机游走一样的结果,从而证明了它与该模型的等价性.

将路径积分用于随机微分方程的研究,这一思路由来已久. 费曼在他的著作[5]中,已经建立了路径积分与线性随机微分方程的关系. 而对于非线性的情况,也有不少研究,但比较混乱,如文献[8]甚至给出了错误的结果.

本文从路径积分的离散化概念出发,明确地建立了两个路径积分微元的雅可比行列式关系,从而对非线性随机微分方程也建立了路径积分. 本文的结果跟文献[9]的结果是一致的.

概念

本文所研究的仅仅是随机常微分方程,它与一般的常微分方程的区别在于布朗运动项的引入,如常见的一类随机微分方程为
$$dx(t)=p(x(t),t)dt + \sqrt{\alpha} dW_t.\tag{48}$$
其中$W_t$代表着一个标准的布朗运动. 由于引入了随机项,所以解$x(t)$不再是确定的,而是有一定的概率分布.

在对随机微分方程中,感兴趣的量有很多,比如关于$x$的某个量的期望、方差,或者稳定性,等等. 随机微分方程领域中有各种分析的技巧,但是显然,直接求出$x(t)$的概率分布后对概率分布进行研究,是最理想最容易的方案. 路径积分正是给出了求概率分布的一个方法.

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2 Jun

路径积分系列:3.路径积分

路径积分是量子力学的一种描述方法,源于物理学家费曼[5],它是一种泛函积分,它已经成为现代量子理论的主流形式. 近年来,研究人员对它的兴趣愈发增加,尤其是它在量子领域以外的应用,出现了一些著作,如[7]. 但在国内了解路径积分的人并不多,很多量子物理专业的学生可能并没有听说过路径积分.

从数学角度来看,路径积分是求偏微分方程的Green函数的一种方法. 我们知道,在偏微分方程的研究中,如果能够求出对应的Green函数,那么对偏微分方程的研究会大有帮助,而通常情况下Green函数并不容易求解. 但构建路径积分只需要无穷小时刻的Green函数,因此形式和概念上都相当简单.

本章并没有新的内容,只是做了一个尝试:从随机游走问题出发,给出路径积分的一个简明而直接的介绍,展示了如何将抛物型的偏微分方程问题转化为路径积分形式.

从点的概率到路径的概率

在上一章对随机游走的研究中,我们得出从$x_0$出发,$t$时间后,走到$x_n$处的概率密度为
$$\frac{1}{\sqrt{2\pi \alpha T}}\exp\left(-\frac{(x_n-x_0)^2}{2\alpha t}\right).\tag{22}$$
这是某时刻某点到另一个时刻另一点的概率,在数学上,我们称之为扩散方程$(21)$的传播子,或者Green函数.

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6 Jan

借助变分法变换坐标

ODE的坐标变换

熟悉理论力学的读者应该能够领略到变分法在变换坐标系中的作用。比如,如果要将下面的平面二体问题方程
$$\left\{\begin{aligned}\frac{d^2 x}{dt^t}=\frac{-\mu x}{(x^2+y^2)^{3/2}}\\
\frac{d^2 y}{dt^t}=\frac{-\mu y}{(x^2+y^2)^{3/2}}\end{aligned}\right.\tag{1}$$
变换到极坐标系下,如果直接代入计算,将会是一道十分繁琐的计算题。但是,我们知道,上述方程只不过是作用量
$$S=\int \left[\frac{1}{2}\left(\dot{x}^2+\dot{y}^2\right)+\frac{\mu}{\sqrt{x^2+y^2}}\right]dt\tag{2}$$
变分之后的拉格朗日方程,那么我们就可以直接对作用量进行坐标变换。而由于作用量一般只涉及到了一阶导数,因此作用量的变换一般来说比较简单。比如,很容易写出,$(2)$在极坐标下的形式为
$$S=\int \left[\frac{1}{2}\left(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2\right)+\frac{\mu}{r}\right]dt\tag{3}$$
对$(3)$进行变分,得到的拉格朗日方程为
$$\left\{\begin{aligned}&\ddot{r}=r\dot{\theta}^2-\frac{\mu}{r^2}\\
&\frac{d}{dt}\left(r^2\dot{\theta}\right)=0\end{aligned}\right.\tag{4}$$
就这样完成了坐标系的变换。如果想直接代入$(1)$暴力计算,那么请参考《方程与宇宙》:二体问题的来来去去(一)

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15 Dec

两生物种群竞争模型:LaTeX+Python

写在前面:本文是笔者数学建模课的作业,探讨了两生物种群竞争的常微分方程组模型的解的性质,展示了微分方程定性理论的基本思想。当然,本文最重要的目的,是展示LaTeX与Python的完美结合。(本文的图均由Python的Matplotlib模块生成;而文档则采用LaTeX编辑。)

问题提出

研究在同一个自然环境中生存的两个种群之间的竞争关系。假设两个种群独自在这个自然环境中生存时数量演变都服从Logistic规律,又假设当它们相互竞争时都会减慢对方数量的增长,增长速度的减小都与它们数量的乘积成正比。按照这样的假设建立的常微分方程模型为
$$\begin{equation}\label{eq:jingzhengfangcheng}\left\{\begin{aligned}\frac{dx_1}{dt}=r_1 x_1\left(1-\frac{x_1}{N_1}\right)-a_1 x_1 x_2 \\
\frac{dx_2}{dt}=r_2 x_2\left(1-\frac{x_2}{N_2}\right)-a_2 x_1 x_2\end{aligned}\right.\end{equation}$$
本文分别通过定量和定性两个角度来分析该方程的性质。

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24 Nov

力的无穷分解与格林函数法

我小时候一直有个疑问:

直升机上的螺旋桨能不能用来挡雨?

一般的螺旋桨是若干个“条状”物通过旋转对称而形成的,也就是说,它并非一个面,按常理来说,它是没办法用来挡雨的。但是,如果在高速旋转的情况下,甚至假设旋转速度可以任意大,那么我们任意时刻都没有办法穿过它了,这种情况下,它似乎与一个实在的面无异?

力的无穷分解

力的离散化.png当然,以上只是笔者小时候的一个“异想天开”的念头,读者不必较真。不过,这个疑问跟本文有什么联系呢?我们在研究振动问题之时,通常会遇到在变力的作用下的受迫振动问题,已知变力是时间的函数,比如$f(t)$,然而,虽然知道$f(t)$的具体形式,但是由于$f$的非线性性,加上外力之后的运动,不一定容易求解。然而,如果可以将一个变化的力分段为无数个无穷小时间内的恒力(冲力),那么我们就可以分段讨论我们要研究的运动,而通常来说,恒力的问题会比变力容易。将一个变力离散化,然后再取极限,那么是不是跟原来在变力下的运动是一样的呢?这跟文章开头的疑问有着类似的思想——离线的极限,跟连续本身,是不是等价的?

而让人惊喜的是,在通常的物理系统中,将力分段为无数个小区间内的恒力的做法,能够导致正确的答案,而且,这恰好是线性常微分方程的格林函数法。下面我们来分析这一做法。

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18 Jun

线性微分方程组:已知特解求通解

含有$n$个一阶常微分方程的一阶常微分方程组
$$\dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}$$
其中$\boldsymbol{x}=(x_1(t),\dots,x_n(t))^{T}$为待求函数,而$\boldsymbol{A}=(a_{ij}(t))_{n\times n}$为已知的函数矩阵。现在已知该方程组的$n-1$个线性无关的特解$\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\dots,\boldsymbol{x}_{n-1}$(解的列向量),求方程的通解。

这是我的一位同学在6月5号问我的一道题目,我当时看了一下,感觉可以通过李对称的方法很容易把解构造出来,当晚就简单分析了一下,发现根据李对称的思想,由上面已知的信息确实足以把通解构造出来。但是我尝试了好几天,尝试了几何、代数等思想,都没有很好地构造出相应的正则变量出来,从而也没有写出它的显式解,于是就搁置下来了。今天再分析这道题目时,竟在无意之间构造出了让我比较满意的解来~

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26 Nov

求解微分方程的李对称方法(二)

由于重装系统时的粗心大意,笔者把《求解微分方程的李对称方法》的Word文档弄丢了,更不幸的是存有该文档的U盘也弄丢了~没办法,只好重新把这篇文章录入了。幸好之前曾把它打印成纸质版,还有旧稿可以参考。现发布《求解微分方程的李对称方法(二)》,希望能够为对李对称方法有兴趣的朋友提供些许资源。

相比(一),(二)将所有内容重新用CTex录入了,果然,$\LaTeX$才是写数学论文软件中的佼佼者,虽然是纯代码编辑,但是这正符合我追求简洁清晰的风格。在内容上,(二)增加了一阶常微分方程组的内容,并对(一)的部分细节做了修改,本文完成后就初步相对完整地叙述了一阶常微分方程组的李对称积分的思路,内容增加到了13页。而在接下来的(三)中,将会提供李代数的内容;如果有(四)的话,就会谈到李对称方法的计算机实现。希望大家会喜欢这系列文章。更期待大家的读后感(包括挑错)^_^

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