开学已经是第二周了,我的《微分几何》也上课两周了,进度比较慢,现在才讲到平面曲线的曲率。在平面曲线$\mathbf{t}(t)=(x(t),y(t))$某点上可以找出单位切向量。
$$\mathbf{t}=\left(\frac{dx}{ds},\frac{dy}{ds}\right)$$
其中$ds^2 =dx^2+dy^2$,将这个向量逆时针旋转90度之后,就可以定义相应的单位法向量$\mathbf{n}$,即$\mathbf{t}\cdot\mathbf{n}=0$。

常规写法

让我们用弧长$s$作为参数来描述曲线方程,$\mathbf{t}(s)=(x(s),y(s))$,函数上的一点表示对$s$求导。那么我们来考虑$\dot{\mathbf{t}}$,由于$\mathbf{t}^2=1$,对s求导得到
$$\mathbf{t}\cdot\dot{\mathbf{t}}=0$$

阅读剩余部分...