8 Dec

伽马函数的傅里叶变换之路

伽马函数
$$\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}dt$$
作为阶乘的推广,会让很多初学者感到困惑,对于笔者来说也不例外。一个最自然的问题就是:这般复杂的推广公式是如何得到的?

在cos.name的文章《神奇的伽马函数》中,有比较详细地对伽马函数的历史介绍,笔者细读之后也获益匪浅。但美中不足的是,笔者还是没能从中找到引出伽马函数的一种“自然”的办法。所谓“自然”,并不是说最简单的,而是根据一些基本的性质和定义,直接把伽马函数的表达式反解出来。它的过程和运算也许并不简单,但是思想应当是直接而简洁的。当然,我们不能苛求历史上伽马函数以这种方式诞生,但是作为事后探索是有益的,有助于我们了解伽马函数的特性。于是笔者尝试了以下途径,得到了一些结果,可是也得到了一些困惑。

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3 Dec

正弦级数和余弦级数

在数学分析的级数理论中,有一类常见的题目,其中涉及到
$$\cos\theta+\cos 2\theta+\dots+\cos n\theta\tag{1}$$

$$\sin\theta+\sin 2\theta+\dots+\sin n\theta\tag{2}$$
之类的正弦或者余弦级数的求和,主要是证明该和式有界。而为了证明这一点,通常是把和式的通项求出来。当然,该级数在物理中也有重要作用,它表示$n$个相同振子的合振幅。在我们的数学分析教材中,通常是将级数乘上一项$\sin\frac{\theta}{2}$,然后利用积化和差公式完成。诚然,如果仅限在实数范围内考虑,这有可能是唯一的推导技巧的。但是这样推导的运算过程本身不简单,而且也不利于记忆,在大二的时候我就为此感到很痛苦。前几天在看费曼的书的时候,想到了一种利用复数的推导技巧。很奇怪,这个技巧是如此简单——写出来显得这篇文章都有点水了——可是我以前居然一直没留意到!看来功力尚浅,需多多修炼呀。

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16 Aug

从费马大定理谈起(三):高斯整数

为了拓展整数的概念,我们需要了解关于环和域这两个代数结构,这些知识在网上或者相应的抽象代数教程中都会有。抽象地提出这两个代数结构,是为了一般地处理不同的数环、数域中的性质。在自然数集$\mathbb{N}$中,可以很方便定义和比较两个数字的大小,并且任意一个自然数的子集,都存在最小元素,这两点综合起来,我们就说$\mathbb{N}$是“良序”的(这也是数学归纳法的基础)。在良序的结构中,很多性质的证明变得很简单,比如算术基本定理。然而,一般的数环、数域并没有这样的“良序”,比如任意两个复数就不能比较大小。因此,一般的、不基于良序的思想就显得更为重要了。

环和域

关于环(Ring)的定义,可以参考维基百科上面的“环(代数)”条目。简单来说,环指的是这样一个集合,它的元素之间可以进行加法和乘法,并满足一些必要的性质,比如运算封闭性、加法可交换性等。而数论中大多数情况下研究的是数环,它指的是集合是数集的情况,并且通常来说,元素间的加法和乘法就是普通的数的加法和乘法。比如所有的实整数就构成一个数环$\mathbb{Z}$,这个数环是无限的;所有的偶整数也构成一个数环$2\mathbb{Z}$;对于素数$p$,在模$p$之下,数集$\{0,1,2,\dots,p-1\}$也构成了一个环,更特别的,它还是一个数域。

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1 Jul

勾股数的通解及其推广

在之前的文章《几何的数与数的几何:超复数的浅探究》中,我们谈及过四元数。四元数源于把复数的$|(a+bi)(c+di)|=|a+bi|\times|c+di|$这一独特的性质进行高维推广。为什么偏爱这一性质?读者或许已经初步知道一些用到复数的这一性质的例子,有几何方面的,也有物理方面的,这一性质为处理模长相关问题带来了美妙的方便。本文介绍它在求三元二次齐次不定方程的整数通解中的应用,这一例子同样展示了复数这一性质的神奇,让我们不得不认同当初哈密顿为了将其推广到高维而不惜耗费十年光阴的努力。

勾股数问题

读者或许已经知道,勾股数,也就是满足
$$x^2+y^2=z^2$$
的所有自然数解,由下面公式给出
$$x=a^2-b^2,\quad y=2ab,\quad z=a^2+b^2$$

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25 Apr

傅里叶变换:只需要异想天开?

在对数学或物理进行事后分析,往往会发现一些奇怪的现象,也有可能得到一些更为深刻有趣的结果。比如本文所要谈及的傅里叶变换,可以由一种“异想天开”的思路得来。

洛朗展式
我们知道,在原点处形态良好的函数,可以展开为泰勒级数
$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$$
我们发现,上面的幂都是正的,为什么不能包含$x$的负数次幂呢?比如$\frac{\sin z}{z^2}$展开为
$$\frac{1}{z}-\frac{z}{6}+\frac{z^3}{120}\dots$$
显然也是一件合理的事情。于是,结合复变函数,我们得到解析函数的洛朗展式
$$f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n z^n$$
这是函数的双边展开。其中

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25 Apr

当概率遇上复变:解析概率

每当看到数学的两个看似毫不相关的分支巧妙地联系了起来时,我总会为数学的神奇美丽惊叹不已。在很久以前,当我看到通过生成函数法把数论问题与复变函数方法结合起来,衍生出一门奇妙的“解析数论”时,我就惊叹过生成函数法的漂亮!可惜,一直都没有好好写整理这些内容。今天,当我在看李政道先生的《物理学中的数学方法》时,看到他把复变函数跟随机游动如鬼斧神工般了起来,再次让我拍案叫绝。最后实在压抑不住心中的激动,在此写写概率论和生成函数的事情。

数论与复变函数结合,就生成了一门“解析数论”,按照这个说法,概率与复变函数结合,应该就会有一门“解析概率”,但是我在网上搜索的时候,并没有发现这个名词的存在。经过如此,本文还是试用了这个名词。虽然这个名词没有流行,但事实上,解析概率的方法并不算新,它可以追溯到伟大的数学家拉普拉斯以及他的著作《分析概率论》中。尽管如此,这种巧妙漂亮的方法似乎没有得到大家应该有的充分的认识。

我觉得,即使作为一个简洁的计算工具,生成函数法这个美丽的技巧,也应该尽可能为科学爱好者所知,更不用说数学专业的朋友了。

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4 Mar

平面曲线的曲率的复数表示

开学已经是第二周了,我的《微分几何》也上课两周了,进度比较慢,现在才讲到平面曲线的曲率。在平面曲线$\mathbf{t}(t)=(x(t),y(t))$某点上可以找出单位切向量。
$$\mathbf{t}=\left(\frac{dx}{ds},\frac{dy}{ds}\right)$$
其中$ds^2 =dx^2+dy^2$,将这个向量逆时针旋转90度之后,就可以定义相应的单位法向量$\mathbf{n}$,即$\mathbf{t}\cdot\mathbf{n}=0$。

常规写法

让我们用弧长$s$作为参数来描述曲线方程,$\mathbf{t}(s)=(x(s),y(s))$,函数上的一点表示对$s$求导。那么我们来考虑$\dot{\mathbf{t}}$,由于$\mathbf{t}^2=1$,对s求导得到
$$\mathbf{t}\cdot\dot{\mathbf{t}}=0$$

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11 Jan

几何的数与数的几何:超复数的浅探究

这也是我的期末论文之一...全文共17页,包括了四元数的构造方法,初等应用等。附录包括行列式与体积、三维旋转的描述等。使用LaTex进行写作(LaTex会让你爱上数学写作的)

几何的数与数的几何
――超复数的浅探究

摘要
今天,不论是数学还是物理的高维问题,都采用向量分析为基本工具,数学物理中难觅四元数的影子。然而在历史上,四元数的发展有着重要的意义。四元数(Quaternion)运算实际上是向量分析的“鼻祖”,向量点积和叉积的概念也首先出现在四元数的运算中,四元数的诞生还标记着非交换代数的开端。即使是现在,四元数还是计算机描述三维空间旋转问题最简单的工具。另外,作为复数的推广,四元数还为某些复数问题的一般化提供了思路。

本文把矩阵与几何适当地结合起来,利用矩阵行列式$\det (AB) =(\det A)(\det B)$这一性质得出了四元数以及更高维的超复数的生成规律,并讨论了它的一些性质以及它在描述旋转方面的应用。部分证明细节和不完善的思想放到了附录之中。

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