6 Jan

借助变分法变换坐标

ODE的坐标变换

熟悉理论力学的读者应该能够领略到变分法在变换坐标系中的作用。比如,如果要将下面的平面二体问题方程
$$\left\{\begin{aligned}\frac{d^2 x}{dt^t}=\frac{-\mu x}{(x^2+y^2)^{3/2}}\\
\frac{d^2 y}{dt^t}=\frac{-\mu y}{(x^2+y^2)^{3/2}}\end{aligned}\right.\tag{1}$$
变换到极坐标系下,如果直接代入计算,将会是一道十分繁琐的计算题。但是,我们知道,上述方程只不过是作用量
$$S=\int \left[\frac{1}{2}\left(\dot{x}^2+\dot{y}^2\right)+\frac{\mu}{\sqrt{x^2+y^2}}\right]dt\tag{2}$$
变分之后的拉格朗日方程,那么我们就可以直接对作用量进行坐标变换。而由于作用量一般只涉及到了一阶导数,因此作用量的变换一般来说比较简单。比如,很容易写出,$(2)$在极坐标下的形式为
$$S=\int \left[\frac{1}{2}\left(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2\right)+\frac{\mu}{r}\right]dt\tag{3}$$
对$(3)$进行变分,得到的拉格朗日方程为
$$\left\{\begin{aligned}&\ddot{r}=r\dot{\theta}^2-\frac{\mu}{r^2}\\
&\frac{d}{dt}\left(r^2\dot{\theta}\right)=0\end{aligned}\right.\tag{4}$$
就这样完成了坐标系的变换。如果想直接代入$(1)$暴力计算,那么请参考《方程与宇宙》:二体问题的来来去去(一)

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15 Nov

力学系统及其对偶性(三)

在上一篇文章中,我已经初步地从最小作用量原理的角度来观察对偶定律的表现。虽然那是一种便捷有效的方法,但是还是给我们流下了一些遗憾。上一节是从几何形式的作用量原理出发的,而没有在一般形式的作用量框架下讨论。因为如果在$S=\int Ldt=\int (T-U)dt$的形式下讨论坐标变换问题会出现困难,困难源于我们进行了变换$d\tau=|z|^2 dt$,这导致了时间和空间的耦合,变分不能简单地进行。但是,这并非无法解决的问题。我们还是可以在基本的作用量原理之下讨论变换问题。下面将对此问题进行讨论。

变分中的变量代换

考虑一个一般的保守系统的作用量:
$$S=\int_{t_1}^{t_2} L(q,\frac{dq}{dt})dt$$

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19 Aug

势能最小问题的探讨

本文我们来探讨下列积分的极值曲线:
$$S=\int f(x,y)\sqrt{dx^2+dy^2}=\int f(x,y)ds$$

这本质上也是一个短程线问题。但是它形式比较简答,物理含义也更加明显。比如,如果$f(x,y)$是势函数的话,那么这就是一个求势能最小的二维问题;如果$f(x,y)$是摩擦力函数,那么这就是寻找摩擦力最小的路径问题。不管是哪一种,该问题都有相当的实用价值。下面将其变分:

$$\begin{aligned} \delta S =&\int \delta[f(x,y)\sqrt{dx^2+dy^2}] \\ =&\int [ds\delta f(x,y)+f(x,y)\frac{\delta (dx^2+dy^2)}{2ds}]\\ =&\int ds(\frac{\partial f}{\partial x}\delta x+\frac{\partial}{\partial y}\delta y)+f \frac{dx d(\delta x)+dy d(\delta y)}{ds} \\=&\int ds(\frac{\partial f}{\partial x}\delta x+\frac{\partial}{\partial y}\delta y)+f \frac{dx}{ds} d(\delta x)+\frac{dy}{ds} d(\delta y) \end{aligned}$$

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30 Jul

变分法的一个技巧及其“误用”

不可否认,变分法是非常有用而绝妙的一个数学工具,它“自动地”为我们在众多函数中选出了最优的一个,而免除了具体的分析过程。物理中的最小作用量原理则让变分法有了巨大的用武之地,并反过来也推动了变分法的发展。但是变分法的一个很明显的特点就是在大多数情况下计算相当复杂,甚至如果“蛮干”的话我们几乎连微分方程组都列不出来。因此,一些有用的技巧是很受欢迎的。本文就打算介绍这样的一个小技巧,来让某些变分问题得到一定的化简。

我是怎么得到这个技巧的呢?事实上,那是几个月前我在阅读《引力与时空》时,读到变分原理那一块时我怎么也读不懂,想不明白。明明我觉得是错误的东西,为什么可以得到正确的结果?我的数学直觉告诉我绝对是作者的错,可是我又想不出作者哪里错了,所以就一直把这个问题搁置着。最近我终于得到了自己比较满意的答案,并且窃认为是本文所要讲的这个技巧却被物理学家“误用”了。

技巧

首先来看通常我们是怎么处理变分问题的,以一元函数为例,对于求
$$S=\int L(x,\dot{x},t)dt$$

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30 Apr

蘑菇的最优形状模型

淡白口蘑.jpg达尔文的进化学说告诉我们,自然界总是在众多的生物中挑出最能够适应环境的物种,赋予它们更高的生存几率,久而久之,这些物种经过亿万年的“优胜劣汰”,进化成了今天的千奇百怪的生物。无疑,经过长期的选择,优良的形状会被累积下来,换句话讲,这些物种在某些环境适应能力方面已经达到最优或近乎最优的状态(又是一个极值问题了)。好,现在我们来考虑蘑菇。

蘑菇是一种真菌生物,一般生长在阴暗潮湿的环境中。喜欢湿润的它自然也不希望散失掉过多的水分,因此,它努力地调整自身的形状,使它的“失水”尽可能地少。假设单位面积的蘑菇的失水速度是一致的,那么问题就变成了使一个给定体积的立体表面积尽可能少的问题了。并且考虑到水平各向同性生长的问题,理想的蘑菇形状应该就是一个平面图形的旋转体。那么这个旋转体是什么呢?聪明的你是否想到了是一个球体(的一部分)呢?

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5 Apr

重提“旋转弹簧伸长”问题(变分解法)

感谢Awank-Newton读者的来信,本文于2013.01.30作了修正,主要是弹性势能的正负号问题。之前连续犯了两个错误,导致得出了正确答案。现在已经修正。参考《平衡态公理的修正与思考》

在下面的两篇文章中,BoJone已经介绍了这个“旋转弹簧伸长”的问题,并从两个角度提供了两种解答方法。前者列出了一道积分方程,然后再转变为微分方程来解;后者直接从弹性力学的角度来列出一道二阶微分方程,两者殊途同归。
http://kexue.fm/archives/782/
http://kexue.fm/archives/826/

今天,再经过一段时间的变分法涉猎后,BoJone尝试从变分的角度(总能量最小)来给出一种新的解法。同样设r为旋转达到平衡后弹簧上一点到旋转中心的距离,该点的线密度为$\lambda =\lambda (r)$,该点到中心的弹簧质量为$m=m(r)$,旋转前的长度为$l_0$,旋转平衡后的长度为$l_1$。由于弹簧旋转后已经达到了平衡状态,由平衡态公理(参看《自然极值》系列),平衡意味着总能量“动能-势能”取极值。

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4 Apr

变分与理论力学略览

拉格朗日.jpgBoJone在之前的《自然极值》系列已经花了一定篇幅来讲述“极值”在自然界中是多么的普遍,它能够引导我们进行某些问题的思考,从而获得简单快捷的解答。接下来,我要说的一个更加令人惊讶的“事实”:“极值”不仅仅在某些数学或物理问题上给予我们创造性的思考,它甚至构建了整个经典力学乃至于整个物理学!这不是夸大其辞,这是物理学中被称为“最小作用量原理”的一个原理,很多物理学家(如费恩曼)被它深深吸引着,甚至认为它就是“上帝创造世界的终极公式”!(关于做小作用量原理,大家不妨看一下范翔所写的《最小作用量原理与物理之美》系列文章)

话说在18世纪,欧拉拉格朗日开创了一条独特的道路,即用变分法来研究经典力学,从而使经典力学焕发出了新的活力,也由此衍生出了一个叫“理论力学”或“分析力学”的分支。用变分法研究力学有很多的好处,变分的对象一般都是标量函数,我们只需要写出动力系统的动能与势能表达式,就可以进行一系列的研究,比如列出质点的运动方程、判断平衡点的稳定性、求周期轨道等等(由于BoJone对理论力学研究还不够深入,无法举太多例子,但请相信,其作用远远不止这些),省去了不少繁琐的矢量性分析,这些都是在变分法发明前难以研究的。

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26 Dec

《自然极值》系列——8.极值分析

《非线性泛函分析及其应用,第3卷,变分法及最优化》 本篇文章是《自然极值》系列最后一篇文章,估计也是2010年最后一篇文章了。在这个美好的2010年,想必大家一定收获匪浅,BoJone也在2010年成长了很多。在2010年的尾声,BoJone和科学空间都祝大家在新的一年里更加开心快乐,在科学的道路上更快速地前行。

在本文,BoJone将与大家讨论求极值的最基本原理。这一探讨思路受到了天才的费恩曼所著《费恩曼物理讲义》的启迪。我们分别对函数求极值(求导)和泛函数极值(变分)进行一些简略的分析。

一、函数求极值

对于一个函数$y=f(x)$,设想它在$x=x_0$处取到最大值,那么显然对于很小的增量$\Delta x$,有
$f(x_0+\Delta x) \leq f(x_0)$————(3)
根据泰勒级数,我们有
$f(x_0+\Delta x)=f(x_0)+f'(x_0)\Delta x$————(4)

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