7 Nov

【外微分浅谈】6. 微分几何

终于开始谈到重点了,就是这部分内容促使我学习外微分的。用外微分可以方便地推导微分几何的一些内容,有时候还能方便计算。其主要根源在于:外微分本身在形式上是微分的推广,因此微分几何的东西能够使用外微分来描述并不出奇;然后,最重要的原因是,外微分把$dx^{\mu}$看成一组基,因此相当于在几何中引入了两组基,一组是本身的向量基(用张量的语言,就是逆变向量的基),这组基可以做对称的内积,另外一组基就是$dx^{\mu}$,这组基可以做反对称的外积。因此,当外微分引入几何时,微分几何就拥有了微分、积分、对称积、反对称积等各种“理想装备”,这就是外微分能够加速微分几何推导的主要原因。

标架的运动

前面已经得到
$$\begin{aligned}&\omega^{\mu}=h_{\alpha}^{\mu}dx^{\alpha}\\
&d\boldsymbol{r}=\hat{\boldsymbol{e}}_{\mu} \omega^{\mu}\\
&ds^2 = \eta_{\mu\nu} \omega^{\mu}\omega^{\nu}\\
&\langle \hat{\boldsymbol{e}}_{\mu}, \hat{\boldsymbol{e}}_{\nu}\rangle = \eta_{\mu\nu}\end{aligned} \tag{45} $$

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6 Nov

【外微分浅谈】5. 几何意义

对于前面所述的外微分,包括后面还略微涉及到的微分形式的积分,都是纯粹代数定义的内容,本身不具有任何的几何意义。但是,我们可以将某些公式或者定义,与一些几何内容对应起来,使我们更深刻地理解它,并且更灵活运用它。但是,它仅仅是一种对应,而且取决于我们的诠释。比如,我们说外微分公式
$$\int_{\partial D} Pdx+Qdy = \int_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dx\land dy \tag{32} $$
对应于格林公式
$$\int_{\partial D} Pdx+Qdy = \int_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy \tag{33} $$
。这是没问题的,但它们并不等价,它们仅仅是形式上刚好一样。因为格林公式是描述闭合曲线的积分跟面积分的联系,而外微分的公式是一种纯粹的代数运算。因为你完全可以将$dx\land dy$对应于$-dxdy$而不是$dxdy$,这样就得到另外一种几何的对应。

更深刻的问题是:为什么恰好有这个对应?也就是说,为什么经过一些调整和诠释后,就能够得到与积分公式的对应?首先要明确的是外积与普通的数的乘积,除了反对称性之外,是没有任何区别的,因此不少性质得以保留;其次,还应该要回到反对称本身来考虑,矩阵的行列式代表着矩阵所对应的向量组张成的$n$维立体的体积,然而行列式是反对称的,这就意味着反对称运算跟体积、积分等有着先天的联系。当然,更细致的认识,笔者也还没做到。

此外,我们说寻求微分形式的几何意义,通常只是针对不超过3维的空间来讨论的,更高维的几何图像我们很难想象出来,尤其是高维的曲面积分,一般只是类比,但类比是否成立,有时还需要进一步商榷。因此,这种情况下,倒不如干脆点,说微分形式描述的东西就是几何,而不再去寻找所谓的几何意义了。也就是说,反过来,将微分形式和外微分作为公理式的第一性原理来定义几何。

甚至,你可以只将外微分当作是一种记忆各种微分、积分公式的有效途径,比如现在我要大家默写三维空间中的斯托克斯公式,大家估计会乱,因为不一定记得是哪个减哪个。但是在外微分框架下,可以很快地将它推导一遍。好比式$(11)$,如果非要寻求几何解释,那就是开普勒第二定律:单位时间内扫过的面积相等;然而没有几何解释,你依旧可以把方程解下去。

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2 Nov

【理解黎曼几何】8. 处处皆几何 (力学几何化)

黎曼几何在广义相对论中的体现和应用,虽然不能说家喻户晓,但想必大部分读者都有所听闻。一谈到黎曼几何在物理学中的应用,估计大家的第一反应就是广义相对论。常见的观点是,广义相对论的发现大大推动了黎曼几何的发展。诚然,这是事实,然而,大多数人不知道的事,哪怕经典的牛顿力学中,也有黎曼几何的身影。

本文要谈及的内容,就是如何将力学几何化,从而使用黎曼几何的概念来描述它们。整个过程事实上是提供了一种框架,它可以将不少其他领域的理论纳入到黎曼几何体系中。

黎曼几何的出发点就是黎曼度量,通过黎曼度量可以通过变分得到测地线。从这个意义上来看,黎曼度量提供了一个变分原理。那反过来,一个变分原理,能不能提供一个黎曼度量呢?众所周知,不少学科的基础原理都可以归结为一个极值原理,而有了极值原理就不难导出变分原理(泛函极值),如物理中就有最小作用量原理、最小势能原理,概率论中有最大熵原理,等等。如果有一个将变分原理导出黎曼度量的方法,那么就可以用几何的方式来描述它。幸运的是,对于二次型的变分原理,是可以做到的。

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21 Oct

【理解黎曼几何】7. 高斯-博内公式

令人兴奋的是,我们导出黎曼曲率的途径,还能够让我们一瞥高斯-博内公式( Gauss–Bonnet formula)的风采,真正体验一番研究内蕴几何的味道。

高斯-博内公式是大范围微分几何学的一个经典的公式,它建立了空间的局部性质和整体性质之间的联系。而我们从一条几何的路径出发,结合一些矩阵变换和数学分析的内容,逐步导出了测地线、协变导数、曲率张量,现在可以还可以得到经典的高斯-博内公式,可见我们在这条路上已经走得足够远了。虽然过程不尽善尽美,然而并没有脱离这个系列的核心:几何直观。本文的目的,正是分享黎曼几何的一种直观思路,既然是思路,以思想交流为主,不以严格证明为目的。因此,对于大家来说,这个系列权当黎曼几何的补充材料吧。

形式改写

首先,我们可以将式$(48)$重写为更有几何意义的形式。从

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19 Oct

【理解黎曼几何】6. 曲率的计数与计算(Python)

曲率的独立分量

黎曼曲率张量是一个非常重要的张量,当且仅当它全部分量为0时,空间才是平直的。它也出现在爱因斯坦的场方程中。总而言之,只要涉及到黎曼几何,黎曼曲率张量就必然是核心内容。

已经看到,黎曼曲率张量有4个指标,这也意味着它有$n^4$个分量,$n$是空间的维数。那么在2、3、4维空间中,它就有16、81、256个分量了,可见,要计算它,是一件相当痛苦的事情。幸好,这个张量有很多的对称性质,使得独立分量的数目大大减少,我们来分析这一点。

首先我们来导出黎曼曲率张量的一些对称性质,这部分内容是跟经典教科书是一致的。定义
$$R_{\mu\alpha\beta\gamma}=g_{\mu\nu}R^{\nu}_{\alpha\beta\gamma} \tag{50} $$
定义这个量的原因,要谈及逆变张量和协变张量的区别,我们这里主要关心几何观,因此略过对张量的详细分析。这个量被称为完全协变的黎曼曲率张量,有时候也直接叫做黎曼曲率张量,只要不至于混淆,一般不做区分。通过略微冗长的代数运算(在一般的微分几何、黎曼几何或者广义相对论教材中都有),可以得到
$$\begin{aligned}&R_{\mu\alpha\beta\gamma}=-R_{\mu\alpha\gamma\beta}\\
&R_{\mu\alpha\beta\gamma}=-R_{\alpha\mu\beta\gamma}\\
&R_{\mu\alpha\beta\gamma}=R_{\beta\gamma\mu\alpha}\\
&R_{\mu\alpha\beta\gamma}+R_{\mu\beta\gamma\alpha}+R_{\mu\gamma\alpha\beta}=0
\end{aligned} \tag{51} $$

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18 Oct

【理解黎曼几何】5. 黎曼曲率

现在我们来关注黎曼曲率。总的来说,黎曼曲率提供了一种方案,让身处空间内部的人也能计算自身所处空间的弯曲程度。俗话说,“不识庐山真面目,只缘身在此山中”,还有“当局者迷,旁观者清”,等等,因此,能够身处空间之中而发现空间中的弯曲与否,是一件很了不起的事情,就好像我们已经超越了我们现有的空间,到了更高维的空间去“居高临下”那样。真可谓“心有多远,路就有多远,世界就有多远”。

如果站在更高维空间的角度看,就容易发现空间的弯曲。比如弯曲空间中有一条测地线,从更高维的空间看,它就是一条曲线,可以计算曲率等,但是在原来的空间看,它就是直的,测地线就是直线概念的一般化,因此不可能通过这种途径发现空间的弯曲性,必须有一些迂回的途径。可能一下子不容易想到,但是各种途径都殊途同归后,就感觉它是显然的了。

怎么更好地导出黎曼曲率来,使得它能够明显地反映出弯曲空间跟平直空间的本质区别呢?为此笔者思考了很长时间,看了不少参考书(《引力与时空》、《场论》、《引力论》等),比较了几种导出黎曼曲率的方式,简要叙述如下。

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16 Oct

【理解黎曼几何】4. 联络和协变导数

向量与联络

当我们在我们的位置建立起自己的坐标系后,我们就可以做很多测量,测量的结果可能是一个标量,比如温度、质量,这些量不管你用什么坐标系,它都是一样的。当然,有时候我们会测量向量,比如速度、加速度、力等,这些量都是客观实体,但因为测量结果是用坐标的分量表示的,所以如果换一个坐标,它的分量就完全不一样了。

假如所有的位置都使用同样的坐标,那自然就没有什么争议了,然而我们前面已经反复强调,不同位置的人可能出于各种原因,使用了不同的坐标系,因此,当我们写出一个向量$A^{\mu}$时,严格来讲应该还要注明是在$\boldsymbol{x}$位置测量的:$A^{\mu}(\boldsymbol{x})$,只有不引起歧义的情况下,我们才能省略它。

到这里,我们已经能够进行一些计算,比如$A^{\mu}$是在$\boldsymbol{x}$处测量的,而$\boldsymbol{x}$处的模长计算公式为$ds^2 = g_{\mu\nu} dx^{\mu} dx^{\nu}$,因此,$A^{\mu}$的模长为$\sqrt{g_{\mu\nu} A^{\mu}A^{\nu}}$,它是一个客观实体。

在球面上每一点建立不同的局部坐标系.jpg
如图,可以在球面上每一点建立不同的局部坐标系,至少这些坐标系的竖直方向的轴指向是不一样的。

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15 Oct

【理解黎曼几何】3. 测地线

测地线

黎曼度量应该是不难理解的,在微分几何的教材中,我们就已经学习过曲面的“第一基本形式”了,事实上两者是同样的东西,只不过看待问题的角度不同,微分几何是把曲面看成是三维空间中的二维子集,而黎曼几何则是从二维曲面本身内蕴地研究几何问题。

几何关心什么问题呢?事实上,几何关心的是与变换无关的“客观实体”(或者说是在变换之下不变的东西),这也是几何的定义。根据Klein提出的《埃尔朗根纲领》,几何就是研究在某种变换(群)下的不变性质的学科。如果把变换局限为刚性变换(平移、旋转、反射),那么就是欧式几何;如果变换为一般的线性变换,那就是仿射几何。而黎曼几何关心的是与一切坐标都无关的客观实体。比如说,我有一个向量,方向和大小都确定了,在直角坐标系是$(1, 1)$,在极坐标系是$(\sqrt{2}, \pi/4)$,虽然两个坐标系下的分量不同,但它们都是指代同一个向量。也就是说向量本身是客观存在的实体,跟所使用的坐标无关。从代数层面看,就是只要能够通过某种坐标变换相互得到的,我们就认为它们是同一个东西。

因此,在学习黎曼几何时,往“客观实体”方向思考,总是有益的。

平面上的测地线.svg有了度规,可以很自然地引入“测地线”这一实体。狭义来看,它就是两点间的最短线——是平直空间的直线段概念的推广(实际的测地线不一定是最短的,但我们先不纠结细节,而且这不妨碍我们理解它,因为测地线至少是局部最短的)。不难想到,只要两点确定了,那么不管使用什么坐标,两点间的最短线就已经确定了,因此这显然是一个客观实体。有一个简单的类比,就是不管怎么坐标变换,一个函数$f(x)$的图像极值点总是确定的——不管你变还是不变,它就在那儿,不偏不倚。

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