主方程(master equation)是对随机过程进行建模的重要方法,它代表着马尔科夫过程的微分形式,我们的专业主要工具之一就是主方程,说宏大一点,量子力学和统计力学等也不外乎是主方程的一个特例。

然而,笔者阅读了几个著作,比如《统计物理现代教程》,还有我导师的《生物系统的随机动力学》,我发现这些著作对于主方程的推导都很模糊,他们在着力解释结果的意义,但并不说明结果的思想来源,因此其过程难以让人信服。而知乎上有人提问《如何理解马尔科夫过程的主方程的推导过程?》但没有得到很好的答案,也表明了这个事实。

马尔可夫过程

主方程是用来描述马尔科夫过程的,而马尔科夫过程可以理解为运动的无记忆性,说通俗点,就是下一刻的概率分布,只跟当前时刻有关,跟历史状态无关。用概率公式写出来就是(这里只考虑连续型概率,因此这里的$p$是概率密度):
$$\begin{equation}\label{eq:maerkefu}p(x,\tau)=\int p(x,\tau|y,t) p(y,t) dy\end{equation}$$
这里的积分区域是全空间。这里的$p(x,\tau|y,t)$称为跃迁概率,即已经确定了$t$时刻来到了$y$位置后、在$\tau$时刻达到$x$的概率密度,这个式子的物理意义是很明显的,就不多做解释了。

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