科学空间|Scientific Spaces

在数学竞赛中，很多题目都专门设置了一种技巧，这种技巧在很大程度上是不怎么理所当然的，换句话说，难以“顺理成章”地想下去，或者是说方法不成系统的，这也是我有点不喜欢数学竞赛题目的一个原因。当然，另一方面，个人认为数学竞赛比物理竞赛更能锻炼一个人的思维能力，尤其是在抽象思维以及几何想象能力等，因此做一些这样的题目也会有好处的。

下面就是一道很经典的竞赛题，它是在韩国举行的第42届IMO中的题目：

设a,b,c都是正实数，求证：
$\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+ \frac{b}{\sqrt{b^2+8ac}} + \frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}} \geq 1$

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相信不少读者已经听过《春天里》这首歌，在今年的全国天文奥赛和这次天文夏令营中，这首歌也成了热门。不过热门的不是原版，而是经过改编后的奥赛版《春天里》。请看————

春天里

还记得许多年前的春天
那时我还没有天文奥赛
没有天文馆就没有她
没有24小时热水的家
可当初的我们那么快乐
虽然只有一架破望远镜
在固原在杭州在广州
唱着那无人问津的歌谣

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这是一道来自“数联天地”的题目：

三边长均为整数的三角形，周长为1000，其中一个内角是另外一个内角的两倍。求三边长度

咋看上去这是一道几何题目，但实际上这是一道初等数论题，而且主要是不定方程问题。类似的题目在数学竞赛中其实有可能出到，在这里和大家探讨一番。话说回来，其实笔者小时候很喜欢数论方面的内容的，在小学和初中，经常围绕着“素数”、“完全数”、“亲和数”、“大数分解”等等名词钻研看书。现在学习了微积分等内容之后，兴趣逐渐转向了实用性较强的数学，因而数论内容的水平不高，大家见笑了。

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转眼间，为期四天的北京大学天文夏令营就已经结束了。载着不舍的情绪，含着怀念的泪光，挥一挥道别的手，营员们各自踏上了自己归家的路。美好的时光总是如箭般飞逝，纵然有万般无奈与不舍，我们依然为能够拥有这段欢聚的宝贵时光而感到满足。是的，不管我们走到哪里，我们都不会忘记我们曾经相聚过，我们始终没有忘记，在星空的底下有一群人和我一样默默凝视着璀璨的银河；我们也一直在憧憬着，下一次天文聚会的到来。

闭上眼睛，相聚的日子仿佛就是昨天，相聚的情景仿佛就在眼前。一切都是那么美好，那么珍贵。

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明天就要飞去北京参加北京大学天文夏令营了。

参加夏令营本来就是喜事，我满怀着喜悦。然而，喜悦之中却有点伤感。伤感的不是夏令营，而是一种别绪，一种难以看到想见的人的无奈。不管怎样，带着想念，好好参与这次的活动，希望能够收获更多的阅历和经验，同时也是一次对许多人梦寐以求的高校——北京大学的旅游和认识，也算是为明年的高考埋下美丽的伏笔

另一方面，暑假的到来意味着高二的结束，其实，当高考结束的那一天起，我们已经是“准高三”学生了。不少人讨论过高三怎么过，也有不少师兄师姐们向我们描述过高三的死板生活，而我的答案只有五个字：高三，好好活！

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这也是我们期末考的题目，是理综的物理题之一。

一个零质量的理想弹簧两端分别系着一个质量为m的质点物体（A左B右），现给A一个向右的速度v₀，使得整体开始运动。问弹簧压缩到最短时弹性势能是多少？以及B质点的最大速度是多少？

高中生是通过结合动量守恒和能量守恒来求解的。而我希望通过微分方程把握这个运动的整体信息，顺便验证弹簧能否将A的速度v₀完全传递给B。

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前几天刚结束的云浮高二期末考数学试卷中，有一道题目让我比较深刻。因为在当时我无法去证明它，只是用了举例子的方法得出了答案。刚才思考了一下，在此给出证明过程。题目如下：

定义在(0,+∞)的函数f(x)满足$x f'(x) \leq f(x)$，对于任意的0 < a < b，比较$a f(b)$和$b f(a)$的大小。

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我们考虑一个球状的星团，并假设它是各向同性的，即距离球心r处的物质密度ρ只与r有关，ρ=ρ(r)。那么，在半径为r的球形区域内的总质量为：
$$M(r)=\int_0^r 4\pi x^2 \rho(x) dx$$

想象有一颗质量比较小的恒星（其实相对于星团总质量，每一颗恒星的质量都很小）在星团的引力作用下运动（就好像太阳系绕着银河系运动一样），且恒星并没有受到其他物质（如星际尘埃等）的阻力。我们之前已经证明过，各向同性的球壳内部的引力是为0的，那么这种情况下的运动就相当于恒星只受到它到球心处的一个球形区域内的质量的引力吸引。根据万有引力定律，选择星团球心为参考系，可以得出
$$\ddot{\vec{r}}=-GM(r)\frac{\vec{r}}{r^3}$$

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