证明下列极限：
$\lim_{x->0}(\frac{a^x+b^x}{2})^{3/x}=ab\sqrt{ab}$

解：
这是我认为比较难的极限题目之一，由麦克劳林公式可以推出：
$a^x=1+x ln a+\frac{x^2 ln^2 a}{2!}+\frac{x^3 ln^3 a}{3!}+...$

于是原式可以变成
$\lim_{x->0}(\frac{2+x ln a+\frac{x^2 ln^2 a}{2!}+...+x ln b+\frac{x^2 ln^2 b}{2!}+...}{2})^{3/x}$

我们有一个简单的极限：$\lim_{x->0}(a+x^2)^{1/x}=a^{1/x}$，因此，在上式中，$\frac{x^2 ln^2 a}{2!}$及其后面的项可以忽略，只考虑
$\lim_{x->0}(\frac{2+x ln a+x ln b}{2})^{3/x}$
$=\lim_{x->0}{[1+(\frac{ln a+ln b}{2})x]^{1/x}}^3$
$=e^{\frac{3(ln a+ ln b)}{2}}$
$=(ab)^(3/2)=ab\sqrt{ab}$

同理，有
$\lim_{x->0}(\frac{a_1^x+a_2^x+...+a_n^x}{n})^{1/x}=\root{n}{a_1 a_2...a_n}