8 Dec

伽马函数的傅里叶变换之路

伽马函数
$$\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}dt$$
作为阶乘的推广,会让很多初学者感到困惑,对于笔者来说也不例外。一个最自然的问题就是:这般复杂的推广公式是如何得到的?

在cos.name的文章《神奇的伽马函数》中,有比较详细地对伽马函数的历史介绍,笔者细读之后也获益匪浅。但美中不足的是,笔者还是没能从中找到引出伽马函数的一种“自然”的办法。所谓“自然”,并不是说最简单的,而是根据一些基本的性质和定义,直接把伽马函数的表达式反解出来。它的过程和运算也许并不简单,但是思想应当是直接而简洁的。当然,我们不能苛求历史上伽马函数以这种方式诞生,但是作为事后探索是有益的,有助于我们了解伽马函数的特性。于是笔者尝试了以下途径,得到了一些结果,可是也得到了一些困惑。

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4 Jun

【备忘】访问Google的方法(更新)

6月13日:更新了一个新的可用IP,不知道能够用多久。

以前大家顶多看到利用这个技巧访问facebook、youtube之类的网站,现在无奈到连Google都得用这个方法访问了。

近日,笔者发现直接输入http://www.google.com.hk无法访问Google搜索,要知道对于学术来说,没有Google是多么严重的事情,很多有用的学术资料,尤其是外文资料,都得靠Google来搜。主观性来说,在学术方面,百度不可能赶得上Google,望其项背都不可能。

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4 May

[问题解答]运煤车的最大路程(更正)

刚刚在浏览卢昌海大师的微博时,发现他微博上有一道比较有趣的题目,于是饶有兴致地思考了一翻,构思了一个答案,希望读者们看看这个答案有问题不?

五一”长假微博很闷,出一道题给博友们解闷:

用重载列车运煤,每次可装1万吨,每行驶1公里耗煤1吨,起点处共有N万吨煤(简单起见N为正整数),请问最远可运至何处(是国营煤老板,成本不计,只要运到的数量大于0就算成功)?并求$N\to\infty$时的渐进形式。

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9 Apr

趣题:与橡皮绳赛跑的蚂蚁

这是一道流传很广的趣题,也许不少读者已经听说过它,然而广为人知却不一定“广为人‘解’”,在此把题目给出来,写下我自己的答案,并且谈谈我对答案的看法。题目是这样子的:

与橡皮绳赛跑的蚂蚁
一只蚂蚁沿着一条长$l=100$米的橡皮绳以每秒1厘米的匀速由一端向另一端爬行。每过1秒钟,橡皮绳就拉长100米,比如10秒后,橡皮绳就伸长了1000米。假设橡皮绳可以任意拉长,并且拉伸是均匀的。蚂蚁也会不知疲倦的一直往前爬,在绳子均匀拉长时,蚂蚁的位置理所当然的相对匀速向前挪动,问,如此下去,蚂蚁能否最终爬到橡皮绳的另一端?

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27 Jan

三个相切圆的公切圆

在学车的时候,我堂大哥曾问我一道作圆的问题:

三圆的外切圆和内切圆 (1).png
平面上给出三个两两相切的圆以及它们的圆心,求作一个圆与这三个圆都相切(尺规作图)。

如果从纯几何的途径入手,我们甚至很难判断这样的圆是否存在。但是我之前似乎已经看过类似的题目,于是很快想到一个名词:反演。反演可以将圆反演成直线(圆过反演点),也可以将圆反演成圆(圆不过反演点),而其他的相切、相交等关系保持不变。对反演后的图形进行相同的反演,就变回原来的图形。本题的难点在于圆太多,利用反演,我们可以将它变为两条直线和一个圆的问题。

假设读者已经有了反演的基本知识,如果没有,请到
http://zh.wikipedia.org/wiki/反演
阅读相关内容。

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22 Jul

《虚拟的实在(4)》——质量是什么

笔者很少会谈到定义性的东西,原因很简单,因为我也不见得会比大家清楚,或者说也未必比大家所知道的准确。不过,刚刚与同好讨论过与质量相关的问题,就跟大家分享一下。

最初的问题是能量能不能转化为物质,我觉得根据$E=mc^2$,是显然可以的,例子嘛,我首先想到在量子场论中的真空是会不断产生和湮灭正负电子对的,因此这可以作为一个证据。但是这个感觉上太遥远了,所以我在互联网搜索了一下,不过搜到的内容大同小异:

当辐射光子能量足够高时,在它从原子核旁边经过时,在核库仑场作用下,辐射光子可能转化成一个正电子和一个负电子,这种过程称作电子对效应。
正负电子对效应

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27 Apr

[备忘]历史天气查询

天气预报查询我相信大家用过不少了,如果精度要求不高,那么随便打开谷歌输入“城市名+tq”就可以查询到了。可是你有没有想过过去的天气怎么查询呢?比如我要研究最近十年的气候变化,我想得到最近十年每天的天气数据(最高温、最低温等等),那要怎么查呢?

我在很早以前就想查询到这些数据,但是在网上随便搜索了一下,无果,所以一直搁置着。前两天一个同学问我同样的问题,所以就查找了一番,功夫不负有心人,终于找到了。原来关键字应该是“历史天气查询”(之前我搜索了很多关键字,比如“气象数据下载”、“气象统计”等等,都没有搜索到有用的结果)。

一个支持历史天气查询的中文网站是:
http://lishi.tianqi.com/

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18 Feb

[问题解答]有多少个5?

今天早上子瑞给我发了一个问题来,他说:

一个数,各个数字加起来等于104,乘以2后各个数字加起来等于100,已知这个数字没有9,有4个8、3个7和2个6,问这个数字有多少个5?

当然这道题目不难,稍加分析就可以得出答案,不过不得不说这是一道趣题,而且更像一个数字游戏。

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