首先我们考虑一个复微分方程
$\dot{z}=f(z,t)$————(1)
如果令$z=x+yi,f(z,t)=f(x+yi,t)=g(x,y,t)+i*h(x,y,t)$,则方程对应于
$\dot{x}=g(x,y,t)$
$\dot{y}=h(x,y,t)$
这说明,二元微分方程在一定程度上等价于复微分方程。

我们可以先看一个例子,解方程组
$\dot{x}=x^2-y^2,\dot{y}=2xy$,初始值是$t=0,x=1,y=1$。

如果令$z=x+yi$,则方程事实上等价于$\dot{z}=z^2$,初始条件$t=0,z=1+i$。于是利用解一元微分方程的方法求得
$z=-\frac{1}{t+C}$,并且根据初始条件得到$C=1/2 (i-1)$,即

$x+yi=z=-\frac{1}{t+1/2 (i-1)}=\frac{1/2-t}{(1/2-t)^2+(1/2)^2}+\frac{1/2 i}{(1/2-t)^2+(1/2)^2}$

根据复数相等的原则,得到:
$x=\frac{1/2-t}{(1/2-t)^2+(1/2)^2}$
$y=\frac{1/2}{(1/2-t)^2+(1/2)^2}$

可见,方法是很快捷的,这是一条把不熟悉变为熟悉的重要途径。将二元实微分方程转化为一元复微分方程的一个明显好处是消元,与其说这是不同形式的转换,倒不如说这是一种“消元法”。另外我们曾经讨论过复数与二维向量的等价性。因而,关于二维向量的微分方程,均可以将向量视为“数”(复数)来解答(只要向量方程中不涉及到“模”)。而解复微分方程在很大程序上和实微分方程相同。而我们在实际问题中提出的方程(特别是物理力学方面)有不少是理想的二维向量方程,既然向量等价于复数,用复微分方程的形式来解答,快捷方便,何乐而不为?

下面是运动学的一个实际应用:

一炮弹从地面以$v_0$速度、与地面成θ角射出,空气阻力是速度的q倍(q是常数),求炮弹的运动轨迹。

记炮弹质量为m,初速度为$\vec{v}_0$,重力加速度为$\vec{g}$,运动轨迹为$\vec{r}$,可以列得
$\ddot{\vec{r}}=-\frac{q}{m}\dot{\vec{r}}+\vec{g}$,令$-\frac{q}{m}=k$,则
$\ddot{\vec{r}}=k\dot{\vec{r}}+\vec{g}$
积分一次,并代入初始条件,得到
$\dot{r}=k\vec{r}+\vec{g}t+\vec{v}_0$
既然向量等价于复数,那么用将向量看成复函数,上式就是一个一阶微分方程,利用解一阶微分方程的知识得
$\vec{r}=(\frac{\vec{g}}{k^2}+\frac{\vec{v}_0}{k})(e^{kt}-1)-\frac{\vec{g}t}{k}$

设$\vec{r}=x+yi,\vec{g}=-gi,\vec{v}_0=v_0 cos\theta+i*v_0 sin\theta$(等价于将向量正交分解了),代入上式,根据复数相等的条件,得到
$x=(\frac{v_0 cos\theta}{k})(e^{kt}-1)$
$y=(\frac{v_0 sin\theta}{k}-\frac{g}{k^2})(e^{kt}-1)+\frac{g t}{k}$
$k=q/m$


转载到请包括本文地址:http://spaces.ac.cn/archives/963/

如果您觉得本文还不错,欢迎点击下面的按钮对博主进行打赏。打赏并非要从中获得收益,而是希望知道科学空间获得了多少读者的真心关注。当然,如果你无视它,也不会影响你的阅读。再次表示欢迎和感谢!