证明下列极限:
$\lim_{x \to 0}(\frac{a^x+b^x}{2})^{3/x}=ab\sqrt{ab}$

解:
这是我认为比较难的极限题目之一,由麦克劳林公式可以推出:
$a^x=1+x ln a+\frac{x^2 ln^2 a}{2!}+\frac{x^3 ln^3 a}{3!}+...$

于是原式可以变成
$$\lim_{x \to 0}(\frac{2+x ln a+\frac{x^2 ln^2 a}{2!}+...+x ln b+\frac{x^2 ln^2 b}{2!}+...}{2})^{3/x}$$

我们有一个简单的极限:$\lim_{x->0}(a+x^2)^{1/x}=a^{1/x}$,因此,在上式中,$\frac{x^2 ln^2 a}{2!}$及其后面的项可以忽略,只考虑
$$\lim_{x \to 0}(\frac{2+x ln a+x ln b}{2})^{3/x} \\=\lim_{x \to 0}{[1+(\frac{ln a+ln b}{2})x]^{1/x}}^3 \\ =e^{\frac{3(ln a+ ln b)}{2}} \\ =(ab)^{3/2}=ab\sqrt{ab}$$

同理,有
$$\lim_{x \to 0}(\frac{a_1^x+a_2^x+...+a_n^x}{n})^{1/x}=\sqrt[n]{a_1 a_2...a_n}$$


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