The New Calculation Of Lagrangian Point 4,5

上一回我们已经求出了拉格朗日点L1,L2,L3,并且希望能够求出L4,L5两个点。由于L4,L5与“地球-太阳”连线已经不共线了,所以前边的方法貌似不能够用了。为了得到一个通用的定义,我们可以采用以下方法来描述拉格朗日点:位于拉格朗日点的天体,它与太阳的连线以及地球与太阳的连线所组成的角的大小是恒定的。(这里为了方便,采用了地日系的拉格朗日点来描述,对于一般的三体问题是一样的)

对于L4,L5来说,我们或许可以设置一个新的向量来描述这两点的向径(如$\vec{R}$)。当我们这样做后,很快就会发现这样会令我们的计算走向死胡同。因为我们发现:已知两个向量的夹角和其中一个向量,我们很难把另一个向量用已知向量的式子表达出来。不能做到这一点,就不能找出$\vec{R}$与$\vec{r}$的关系,就无法联立方程求解。难道,我们这一条路走到尽头了吗?一开始BoJone也冥思苦想不得头绪,但是...

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且慢,BoJone在上一篇文章的末尾还提到:用复数可以很方便地研究几何!是的,这一问题用复数来解答就很简单了。首先介绍一下复数。为了解决负数开平方问题,数学家引入了一类形如$z=a+bi,i^2=-1,a,b\in R$的数,这样的数的集合称为复数。当时纯粹是为了计算方便而引入的,被认为当$b !=0$时这一类是只是“虚数”,毫无实际意义。但后来,科学家们却爱上了这一类数,因为它可以方便地研究实际中的几何、物理等问题...

z和它的共轭数在复平面中的几何表示.png复数有奇妙的性质,给出一些复数,不论你经过怎样的运算,结果总是一个复数(也就是说复数的运算结果总是可以写成$z=a+bi,i^2=-1,a,b\in R$的形式),这样,如果两个复数$a+bi$和$c+di$相等,必有a=c,b=d。(你有没有发现,这一点有点类似于向量?)。复数不能在一条数轴上描述,由于存在两个实数a,b,数学家采用“复平面”的方面,建立类似于XOY的坐标系,复平面任意一个点都代表了一个确定的复数。这样就把复数跟几何联系了起来。(还记得吗?平面直角坐标系上的任意一个点都代表了一个向量,聪明的你会把两者联系起来的) 复数的“模”(相当于实数的绝对值)定义为$r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$,这很像向量的长度的求法。复数的加减乘除也有它可爱之处。$(a+bi)+-(c+di)=(a+-c)+(b+-d)i$(这像不像向量?);两个复数相乘,结果也是一个复数,该复数的模等于两个复数的模的乘积,该复数的“辐角”(与实数轴的夹角)等于两个复数的辐角之和。(这貌似定义了一种新的向量运算?)。关于复数,就简单地描述到这里了,本文章并非描述复数文章,因此不加详述,希望深入研究的读者,可以参考大学教程《复变函数》

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回到我们的拉格朗日点问题,我们知道,问题的关键是要找出$\vec{R}$与$\vec{r}$的关系。这里利用“复平面”的方法,把向量复数化(即每一个向量都表示一个复数),设k是一个复数,并且$\vec{R}=k\vec{r}$(注意这里的$\vec{r}$代表了一个复数而非向量,$k\vec{r}$就表达出了一个与$\vec{r}$有着固定夹角的向量),这样的依旧可以根据(19)列出形如(20)、(21)的方程,最终也得出了(22),不同的是,这里的k是一个复数
$(M+m)+m'(\frac{1-k}{|1-k|^3}+\frac{k}{|k|^3})=\frac{M+m'}{|k|^3}-m(\frac{1-k}{k|1-k|^3}-1/k)$——(22)

实数方程解得不少,可是复数方程却鲜有解答。BoJone一时候也摸不着头脑,然而,我们注意到要是$|1-k|^3$和$|k|^3$均等于1,那么上述方程各项均可以抵消(也就是说得出一个通解)。从这个思路出发,设$k=a+bi$,那么就有 $|k|^2=a^2+b^2=1,|1-k|^2=(1-a)^2+b^2=1$,注意a,b均是实数,很容易就得到$a=1/2,b=+-\frac{\sqrt{3}}{2}$,也就是说$k=1/2+-\frac{\sqrt{3}}{2}i$是方程(22)的通解(与质量无关),这个通解的几何意义是:以地日连线为长度单位,以太阳为原点,这两点位于地日连线中心垂直向左或右$\frac{\sqrt{3}}{2}$单位处,这就是拉格朗日点的最后两个解(等边三角形解)

到了这里,初次接触复数的读者可能依然会觉得,利用复数只不过利用了它的运算性质,但是它依旧不具有任何物理意义。有这样的想法的读者错了,从复数的角度来推导(22)式,每一步的物理意义都十分明确(要知道,除了k本身,每一步的运算结果都是一个实数,每个实数都代表了一个物理量,所谓复数,只是一个在数学与物理间“过渡的量”,效果如向量一般),只不过我们平时的计算中,一般都是采用平面直角坐标系来研究,而这里则是采用了复平面。这样的好处是我们只要研究一个变量,而不需要把向量正交分解。这就是用复数很方便地研究几何的原因。当然,不仅仅是几何,由复数发展而来的《复变函数》,在天文、力学、光学等领域,都已经成为了不可或缺的强大工具!

“见渺小之题目,必细察其纹理,故时有物外之趣!”这是BoJone的感触。


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