均匀大圆挖去小圆后,求质心(重心).PNG

不论在数学题目上,或者是物理应用中,我们总能够看到类似的题目:求一个规则物体挖去(或增加)一个规则物体后,其剩下部分的质心(重心)。

所谓重心,就是指物体的各部分都要受到重力的作用,从效果看,我们可以认为各部分受到的重力作用集中于一点(重力在物体上的作用点)这一点叫做物体的重心。而质量中心简称为质心,指物质系统上被认为质量集中于此的一个假想点。质心不需要在有重力场的系统中才会有意义,而重心则否。如果重力场是均匀的,那么同一物质系统的质心与重心在同一假想点上;非均匀重力场通常不在。

求质心,最直接的方法当然是用重积分了。但是这种方法复杂不用说,而且对于任意给出的平面或物体,其函数往往不容易给出。所以下面整理出三种方法,可以来应付上面的题目。这三种方法从不同的角度出发,各有其巧妙之处。最后给出第四种方法,用来求不规则薄片的重心。

一、巴普斯定理

一个有限平面沿着处处垂直于它的方向运动,它扫过的面积等于质心经过的路程乘以曲线长,或者平面以垂直于它的速度扫过的体积等于质心经过的路程乘曲面面积。

这句话刚读的时候会感觉很难理解,其实大家可以侧重看后半句,速度的方向与平面垂直。这样,上面的运动就不仅仅指的是平移了,换句话说,运动路径不一定是直线,也可以是绕某一固定轴旋转。这里简单地谈一下这个定理的证明:

设平面的面积为S,质量为M,把平面分成无限个小平面,每个面的面积为$s_i$,质心的定义为$\stackrel{\to}{R_c}=\frac{\sum \stackrel{\to}{R_i}m_i}{M}$,对于均匀平面,$m_i \prop s_i$,所以质心定义可以改写成:
$\stackrel{\to}{R_c}=\frac{\sum \stackrel{\to}{R_i}s_i}{S}$
两边微分,得到
$d\stackrel{\to}{R_c}=d(\frac{\sum \stackrel{\to}{R_i}s_i}{S})=\frac{\sum d(\stackrel{\to}{R_i})s_i}{S}$
$S|d\stackrel{\to}{R_c}|=\sum |d(\stackrel{\to}{R_i})|s_i$

倘若运动方向与平面垂直,即$d(\stackrel{\to}{R_i})$垂直,那么瞬间扫过的面积为$s_i$,瞬间扫过的长度为$|d(\stackrel{\to}{R_i})|$,所以瞬间扫过的体积为$|d(\stackrel{\to}{R_i})|s_i$,一段时间内扫过的体积就是:$\int [\sum |d(\stackrel{\to}{R_i})|ds]=\int (S|d\stackrel{\to}{R_c}|)=S\int |d\stackrel{\to}{R_c}|$
最右端正是质心扫过的距离与面积的乘积。巴普斯定理证毕。

上面的内容只是让大家了解一下巴普斯定理,如果纯粹为了应用,大可不必管它。现在我们可以应用这个定理了,我们可以用它来求体积或质心。如一开始我们提出的题目。由于这个图形是对称图形,所以质心肯定在对称轴上,我们让缺损的圆绕下图中红线的轴旋转一周。用“体积除以面积”的做法求出质心所在。

根据巴普斯定理,大圆旋转一周所形成的体积为$\pi R^2*2\pi R$,小圆旋转一周所形成的体积为$\pi r^2*2\pi d$,于是该旋转体的体积为$2\pi^2(R^3-r^2 d)$;而原来图形的面积为$S=\pi(R^2-r^2)$。所以质心走过的距离是$\frac{2\pi^2(R^3-r^2 d)}{\pi(R^2-r^2)}=\frac{2\pi(R^3-r^2 d)}{R^2-r^2}$。
“缺圆”旋转.PNG

质心在AB上,所以走过的路线必定也是一个圆,有$2\pi R_c=\frac{2\pi(R^3-r^2 d)}{R^2-r^2}$,所以质心距离P点的$R_c=\frac{R^3-r^2 d}{R^2-r^2}$处。

巴普斯定理处理这类问题很有用,而且可以方便地求某些立体的体积。但是也有缺点,如只能够用于平面图形、有时候计算会比较麻烦等。

二、质心与质心的公共质心(分步法、渐进法)

n个质点的公共质心,等于其中a个质点的公共质心剩下(n-a)个质心的公共质心公共质心

大圆被挖去前、挖去的小圆这两个的质量和质心我们都知道了,所以可以利用上述方法求。对于几个立体组合,我们可以很方便地处理;对于被“挖去”的情况,需要把被挖去的那一部分的质量记成负数我把这个方法叫做分步法或渐进法

继续针对上题,大小圆质心的距离为(R-d),大小圆质量之比为$R^2:(-r^2)$,根据质心的定义(类似杠杆平衡),可以求出质心距离大圆圆心的距离为$\frac{-r^2}{R^2+(-r^2)}(R-d)$(这是一个负值,意思是已经离开了两个圆心之间的线段),所以质心距离P点位$R-\frac{-r^2}{R^2+(-r^2)}(R-d)=\frac{R^3-r^2 d}{R^2-r^2}$

三、重力势能法

亲爱的读者,你们没有看错,我也没有打错,的确是“重力势能”。这是BoJone在阅读《力学》重力势能的时候,突发奇想地用来求质心的。这里应用一个物理定律:

物体的重力势能,等于物体的质心与零等势面的距离,乘以物体所受的重力。

有了这个定律,并根据能量的可加性,我们就可以方便地求出物体质心所在。

“重力势能法”求质心.PNG

在原题中,选择上图红线部分作为零等势面。设圆的密度为1,则大圆的重力势能为$\pi R^2 *g*R$,小圆的重力势能为$\pi r^2 *g*d$,所以该物体的重力势能为$E_p=\pi R^2 *g*R-\pi r^2 *g*d$;而该物体的质量为$M=\pi R^2-\pi r^2$,所以该物体到零等势面的距离为$\frac{E_p}{Mg}=\frac{R^3-r^2 d}{R^2-r^2}$

到此,已经基本上把这三种方法讲完了(累...),这三种方法从不同的角度出发,既有数学的,也有物理的,最终得到了相同的结果。其实,BoJone很喜爱微积分,但是却不精,所以不想从重积分的角度来求质心,因而寻找了上面的“捷径”。在寻找捷径的过程中,BoJone首先考虑到的是使用物理方法,最初想到的是利用引力定律,但是想到力的不可加性,因而就放弃了。偶然间看到了“刚体的重力势能”,立即恍然大悟!而巴普斯定理则是在搜索资料的过程中发现的,第二种方法则是BoJone之前为了求质心而想出来的一种方法,现在在这用上场了,呵呵!

最后介绍一种“重垂线方法”,用来求不规则薄板的重心。事实上,无论你有多好的计算能力,在实际中用数学分析方法求重心都是不现实的。我们需要在实际中快速地确定重心(尽管不是十分精确)。对于一块薄板(不一定要均匀),在上面选择一个固定点(如A和B),在上面绑一条细线,拉着细线一头,让薄板和细线的另一头自然垂下,在薄板上记录细线的位置。换一个固定点重复上述操作,在薄板上画出的两条线的交点,就是该薄板的重心所在点。

“重垂线法”求质心.png


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