数联天地论坛中的watt5151朋友提出了这样的一个问题:
三角形的“六接圆”.jpg
如图,已知三角形ABC,如何做一个圆,它与三角形三边都相交,而且六个交点可以连成三条直径?

三角形的外接圆和内切圆都见多了,看到这样的一个新鲜的题目,BoJone感到很有趣,自作主张地把这个圆称为三角形的“六接圆”,并且在下午研究了一下。最后得出了结论:对于非钝角三角形来说,这和外接圆、内切圆同出一辙,这样的圆总是存在的,而且是唯一存在的;对于钝角三角形, 有些情况是不存在的(虽然可以作出这样的圆,但是与三角形并没有六个交点了,换句话说,圆溢出了)。

怎么放假一阵子,就感觉好像很久没有做数学题了,头脑都有点生硬了。下面介绍一下BoJone的思考过程,首先作出下图:
三角形的“六接圆”-坐标图.png

设A点的坐标为(a,b),C点的坐标为(c,0),并且令所求圆的方程为:$(x-m)^2+(y-n)^2=R^2$。也就是说O点的坐标为(m,n)。不难求出,E、D两点的坐标分别为$(m+-\sqrt{R^2-n^2},0)$。又因为E、O、F三点共线,得到F的坐标为$(m-\sqrt{R^2-n^2},2n)$,同理G的坐标为$(m+\sqrt{R^2-n^2},2n)$。

根据A、F、B三点共线,且AF=BF,可以列出:$\frac{m-\sqrt{R^2-n^2}}{2n}=\frac{a}{b}$——(1)
根据A、G、C三点共线,且AG=GC,可以列出:$\frac{m+\sqrt{R^2-n^2}-c}{2n}=\frac{a-c}{b}$——(2)

上面有两条方程,但是有三个未知数m,n,R,剩下一个条件就在于HI这一条直径上,我们可以求出这条直线的方程,然后结合上面两条,把m,n,R确定下来,这说明这个圆是存在且唯一存在的。但是这样处理太麻烦,不方便尺规作图。BoJone按照以下方法处理:

(1)+(2)得出:$\frac{2m-c}{2n}=\frac{2a-c}{b}=>2m-c=\frac{2a-c}{b}(2n)$,这是一道一次函数,过(c/2,0)和(a,b/2)这两点,我们可以方便地在图上把这个函数图像作出来。点O就在这条直线上。

虽然我们现在还不能确定O点在哪儿,但是别忘了,我们现在只是选择了BC边作为x轴,我们还可以选择AB、AC边进行同样的操作,这样可以作出另外一条直线与现有直线相交。由于O点唯一,所以交点必定是O点。知道了O点所在,就等价于知道了m与n的长度(尽管我们不知道具体数据时多少,但是我们也不需要知道,我们只希望能够在图中做出这样的一个圆)。根据(1)式,有$R^2=n^2+(m-\frac{2na}{b})^2$,这是一个尺规可作量。

现在我们已经大体研究出了其中的作法,接下来的工作就是把上面的研究“翻译”成尺规作图的步骤。下面是一张BoJone自己在报纸上画的图,用来做一下说明:
三角形的“六接圆”-尺规作图.jpg

步骤:

1、选择三角形的一条边,作出它的中点;并且画出这条边上的高,作出高的中点;
2、作过这两个中点的直线(EF);
3、选择三角形的另一条边,重复1,2步骤(作HI);
4、找出1,2,3所作的两条直线的交点,这个交点就是圆心;
5、选择三角形其中一条边,作直线LM=2n,LM⊥BC交AC于点L,交BC于点M;
(注:第5步也可以改为“作直线LM=2n,LM⊥BC交AB于点L,交BC于点M”;)
6、以O为圆心,OM为半径画圆,这个圆就是所求圆。

下面是“数学研发论坛”的hujunhua版主给出的一种作法:
三角形的“六接圆”-尺规作图2.jpg
作法:
先作△ABC的一个旋转了90度的小相似形△123,它几乎内接于△ABC(两顶点落在△ABC的两边上),然后通过位似变换达到内接。具体作法如下。

1、在BC边上任取点1,作BC的垂线交AC于2,
2、过2作AC的垂线,过1作A垂线,两垂线相交于3
3、连结直线C3,交AB于D
4、过D作AB的垂线交BC于E
5、过D作到AC的垂线段DF
6、D,E,F的外接圆

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