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向量,又称矢量,定义为线性空间中需要大小和方向才能完整表示的一个量。而对于我们来说,还是使用最简单的概念比较合适:向量就是“有向线段”。向量这一概念,来源于物理,而又不仅仅应用于物理。向量的出现,使得几何学和物理学的发展又多了一个强有力的工具,记得有一句这样的话:“对数的出现,延长了天文学家的寿命。”而我可以毫不夸张地说,向量的发展,也在不断地延长着数学家和物理学家的寿命!

为什么向量有这么大的威力?其实,在我们学习数学的时候,我们总会自觉或者不自觉地倾向于只有计算的代数,往往会对需要“画图”的几何产生一点点“排斥感”,久而久之,我们更愿意接触的是代数而不是几何。因为我们认为,代数是定性地计算,而几何需要抽象的思维和想象能力。正是因为如此,向量被赋予了生命力。我们喜欢计算,我们就把几何的变为计算的;我们不仅仅要算代数,而且要“算几何”!

几何要怎么才能化为可“算”的问题?解析几何为了这个目的而诞生的。它把所有的几何问题放到了坐标系中,并将某些数学等式(比如两直线的斜率相等)与某些几何关系(比如说两直线平行)等价起来,这样我们这样通过计算证明了这个数学等式,也就证明了几何关系。

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当时笛卡尔站在方法论的自然哲学的高度,认为希腊人的几何学过于依赖于图形,束缚了人的想象力。对于当时流行的代数学,他觉得它完全从属于法则和公式,不能成为一门改进智力的科学。因此他提出必须把几何与代数的优点结合起来,建立一种“真正的数学”。笛卡尔的思想核心是:把几何学的问题归结成代数形式的问题,用代数学的方法进行计算、证明,从而达到最终解决几何问题的目的。依照这种思想他创立了我们现在称之为的“解析几何学”。


然而这种坐标系的方法毕竟有一定局限(但是威力十分大),它仅仅表达了“数量”,没有表达方向,也就是说,必须通过两个数据才能够确定一个量。而物理的东西大多数都带有了一个“方向”(比如力、速度、加速度),也不仅仅是物理,就连数学,某些数学的量,连同方向考虑,会变得简单很多。向量基于一些定义性的运算(这些运算在物理学上都可以找到对应的意义),并通过分析的方法,来得出令人惊讶的结果!

我常常对周围的同学说:“向量是给空间思维能力不好的人用的,我这么笨,所以一定要把向量学精。”这句话带有一定的玩笑之意,然后所说的能够反映一个事实:使用向量,能够减少对几何的抽象思考,从而加快我们研究的步伐,这也就是延长寿命的原因!因此,我们可以说,“代数学家不一定精通几何;但是几何学家一定精通代数——因为他们精通向量!”

以上是我刚开始接触向量的一点点感触。至于向量的作用的例子,则不在本文章之内。在以后的文章中,我会多写一些关于使用向量来解决几何、物理、天文问题的实例,让大家更加深刻地体验到向量的威力。


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