这是我研究级数求和的时候的一个猜测,现在已经发现为正确的。

存在级数$\sum_{x=1}^{\infty} f(x)$,若有

$\lim_{x -> \infty } \int f(x)dx -> \infty $,则该级数发散。

如果$\lim_{x -> \infty } \int f(x)dx $收敛,则该级数收敛。

例如:

级数$\sum_{x=1}^{\infty} 1/x$,由于$\int (1/x)dx=ln x$,$\lim_{x -> \infty}ln x -> \infty$,因此该级数发散。

级数$\sum_{x=1}^{\infty} 1/{x^2}$,由于$\int (1/{x^2})dx=-1/x$,$\lim_{x -> \infty}-1/x -> 0$,因此该级数收敛。

原来这个结论已经存在的,现在以肯定形式给出来


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