自由落体公式-示意图.PNG自由落体的一般定义是:只考虑吸引天体和被吸引天体的引力因素,忽略其他的运动和大气摩擦等因素,物体从静止(相对于吸引天体)开始接近吸引天体的运动。根据这个定义,假设地球为一个均匀球体,半径为r,质量为M,物体从距离地表h高度处自由落下。求落到地面的时间t,或者根据时间t求h。

令s为t时刻物体左右下落的物体与地表的距离,忽略物体的小质量,那么可以列出微分方程:
$\frac{d^2 s}{dt^2}=-\frac{GM}{(r+s)^2}$——(1)
并且初始条件是$t=0,s=h,\dot{s}=v=0$

在实际应用中,我们不必求出这道微分方程的精确解,因为这个解极其麻烦,在之前曾经讨论过。我们只需要求出一个有足够精确度的近似解就行。根据泰勒级数展开式
$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+f''(x_0)\frac{x^2}{2!}+f'''(x_0)\frac{x^3}{3!}+...$

对于上述的微分方程(1),我们已经有了$s(0)=h,s'(0)=0,s''(0)=-\frac{GM}{(r+h)^2}$,由于$\frac{d\ddot{s}}{dt}=\dot{s}\frac{d\ddot{s}}{ds}$,并且不难证明$\frac{d\ddot{s}}{ds}$是有限的,所以$s'''(0)=0$,于是我们可以写出微分方程的近似解:
$s=h-\frac{GM}{2(r+h)^2}t^2$——(2)

它的截断误差是$O(t^4)$。如果求落到地表所用时间,那么有s=0,则
$h=\frac{GM}{2(r+h)^2}t^2$——(3)

另外,我们还有$GM=r^2 g$,g是地球表面的重力加速度。于是(3)又可以改写成
$h=\frac{r^2 g}{2(r+h)^2}t^2$——(4)

上述精确度有多高?我们不妨从h很小和h很大两方面来验证:

首先对于h远远小于r的情况,我们有$\frac{r^2}{(r+h)^2}\approx 1$,于是(4)退化成
$h=\frac{g}{2}t^2$——(5)
这正是我们在高中接触到的自由落体的公式!

其次是对于r远远小于h的情况,我们不妨用这条公式求一下之前的一道题目:

一个物体自由下落, 9天后到达地面,问这个物体刚开始下落时的高度。

由于r远远小于h,得到:
$h(r+h)^2=\frac{r^2 g}{2}t^2 \approx h^3$——(6)

我们把$r=6371000m,t=9*86400s,g=9.8m//s^2$代入(6),可以计算得到:
$h=515482465m=51.5*10^4 km$,这与官方答案几乎完全相等!

由此可见,修正后的自由落体公式具有很高的正确性!因此,参加天文奥赛的朋友不妨掌握这公式,或者评卷人还会给大家额外的加分呢!(创意分^_^)


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