把地球放到“宇宙中心”...

虽然地心说早已站不住脚了，但是我们的确是站在地球上观测宇宙的，我们得把地球视为静止的，才能满足我们日常的观测所需。也就是说，必须得以地球为参照系。这样，我们其实也就重新树立了地球的“宇宙中心”地位。最典型的模型就是所谓的天球坐标系，它的本质就是把地球看做宇宙的中心...

从物理的角度来看，参考系的选择是随意的，等价于数学上坐标系的选择也是很随意的。有些时候，把地球看作“宇宙中心”，会给一些问题带来方便。不过要注意的是，我不是推崇地心说，而是仅仅选择了地球作为参考系！让我们来看看在这种情况下，火星的轨道如何？

首先我们来讨论一下参考系变换问题：在一个直角坐标系中，两个不同的质点$m_1,m_2$的运动轨迹分别为$[x(t),y(t)]$和$[X(t),Y(t)]$，那么，如果以$m_1$作为原点（也就是以$m_1$为参照系），那么$m_2$的轨迹变为$[X(t)-x(t),Y(t)-y(t)]$。原来的原点是静止的，但是选择了$m_1$为参照系之后就变成运动的，轨迹变为$[-x(t),-y(t)]$

我们不妨把火星和地球的轨道看做以太阳为圆心的正圆，并且以冲的位置（也就是三星成一线）作为X轴，那么可以很容易得出行星运动方程（以太阳为参照系）

火星的：
$$\begin{aligned}x=R_m \cos(\frac{v_m t}{R})=R_m \cos(\frac{2\pi t}{T_e}) \\ y=R_m \sin(\frac{v_m t}{R})=R_m \sin(\frac{2\pi t}{T_e})\end{aligned}$$

地球的：
$$\begin{aligned}x=R_e \cos(\frac{v_e t}{R})=R_e \cos(\frac{2\pi t}{T_e}) \\ y=R_e \sin(\frac{v_e t}{R})=R_e \sin(\frac{2\pi t}{T_e})\end{aligned}$$

要是选择地球为参照系，则运动轨迹由下列参数方程得出：
$$\begin{aligned}x=R_m \cos(\frac{2\pi t}{T_e})-R_e \cos(\frac{2\pi t}{T_e}) \\ y=R_m \sin(\frac{2\pi t}{T_e})-R_e \sin(\frac{2\pi t}{T_e})\end{aligned}$$

这样是一条怎样的曲线呢？把数据输入，可以得出这样的一个曲线（原点是地球）：

（如此看来，地心说是一个非常不明智的选择...）

我们把上述参数方程两边平方，然后相加，可以得到：
$$x^2+y^2=R_m^2+R_e^2-2R_m R_m \cos(\frac{2\pi t}{T_e}-\frac{2\pi t}{T_m})$$
其中$x^2+y^2$即是火星到地球的距离的平方，它是关于时间t的函数

我们可以求得当$t=\frac{1}{1/{T_e}-1/{T_m}}$时，上式左端取得最小值，换句话说，（地外的）行星“冲”后$\frac{1}{1/{T_e}-1/{T_m}}$的时候，再次迎来“冲”。
当$\frac{2\pi t}{T_e}-\frac{2\pi t}{T_m}=\frac{\pi}{2}$时，即$t=\frac{1}{4(1/{T_e}-1/{T_m})}$，上式左端取得最大值，换句话说，行星“冲”后$\frac{1}{4(1/{T_e}-1/{T_m})}$的时候，迎来“合”。

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