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函数图像旋转.PNG

我们来考虑下一个旋转问题:将某一函数图像y=f(x),绕点(p,q)逆时针旋转了θ角之后,得到的图象的解析式。

首先,由于仅仅是通过了旋转,所以函数的整体图像并没有变化,因此一定也是原来的函数f,我们在原来的函数图像上随便选取一点(x,y),对应在旋转后的图像为(x’,y’),那么新的图像解析式应该是y’=f(x’).而且由于图像是绕(p,q)旋转的,所以(x,y)和(x’,y’) 两个点到(p,q)的距离应该相等,设这个距离为r,即$\sqrt{(x-p)^2+(y-q)^2}=r$;令(x,y)-(p,q)(这是指两个点之间的连线,下同)与x轴的“过(p,q)的平行线所成的角为α,于是我们有:
$sin\alpha=\frac{y-q}{r}$,$cos\alpha=\frac{x-p}{r}$

继而:
$sin(\alpha +\theta)=sin\alpha cos\theta+sin\theta cos\alpha= \frac{y-q}{r} cos\theta+\frac{x-p}{r}sin\theta$
$cos(\alpha +\theta)=cos\alpha cos\theta-sin\theta sin\alpha= \frac{x-p}{r} cos\theta-\frac{y-q}{r}sin\theta$

于是很显然:
$y' =(\frac{y-q}{r} cos\theta+\frac{x-p}{r}sin\theta)r+q=(y-q)cos\theta+(x-p)sin\theta+q$
$x' =(\frac{x-p}{r} cos\theta-\frac{y-q}{r}sin\theta)r+p=(x-p)cos\theta-(y-q)sin\theta+p$

到此,问题解决了,新函数的解析式为:
$(y-q)cos\theta+(x-p)sin\theta+q=f[(x-p)cos\theta-(y-q)sin\theta+p]$

特别地,绕原点旋转的方程为:
$y cos\theta+x sin\theta=f(x cos\theta-y sin\theta)$

例如:y=6-x,绕(0,0)逆时针旋转45°后,结果为
$\frac{\sqrt{2}}{2}(x+y)=6-[\frac{\sqrt{2}}{2}(x-y)]$
$x=3\sqrt{2}$

注意,问题来了!明明是$y=3\sqrt{2}$,怎么变成了…?哈哈,大家和我一样,掉进了“陷阱”了!再仔细推敲,发现似乎有点问题;再推一下,又好像没有呀。难道…?其实,问题在一开始的时候就出现了!

一开始我们就设新图像的函数是f(注意划线),这是毫无根据的、而且是错误的。我们已经知道了原来图像中的函数为y=f(x),然后可以确定(x,y)与(x’,y’)之间的关系,求的是x’与y’之间的关系。正确的做法是:分别求出x、y关于x’、y’的表达式,然后代入y=f(x),结果就是x’与y’的关系了!原来的思考过程是没有错误的,只要修改一下原来的过程,就可以得出答案了:

设β=α+θ,有
$sin(\beta-\theta)=sin\beta cos\theta-sin\theta cos\beta= \frac{y'-q}{r} cos\theta-\frac{x'-p}{r}sin\theta$
$cos(\beta -\theta)=cos\beta cos\theta+sin\theta sin\beta= \frac{x'-p}{r} cos\theta+\frac{y'-q}{r}sin\theta$

于是很显然:
$y =(\frac{y'-q}{r} cos\theta-\frac{x'-p}{r}sin\theta)r+q=(y'-q)cos\theta-(x'-p)sin\theta+q$
$x =(\frac{x'-p}{r} cos\theta+\frac{y'-q}{r}sin\theta)r+p=(x'-p)cos\theta+(y'-q)sin\theta+p$

代入y=f(x),就有

到此,我们终于得出了新函数的解析式(逆时针)
$(y-q)cos\theta-(x-p)sin\theta+q=f[(x-p)cos\theta+(y-q)sin\theta+p]$
要是顺时针旋转的话:
$(y-q)cos\theta+(x-p)sin\theta+q=f[(x-p)cos\theta-(y-q)sin\theta+p]$

特别地,绕原点旋转的方程为:
$y cos\theta-x sin\theta=f(x cos\theta+y sin\theta)$(逆时针)
$y cos\theta+x sin\theta=f(x cos\theta-y sin\theta)$(顺时针)

这一次没有错误了吧?y=6-x,绕(0,0)逆时针旋转45°后,结果为
$\frac{\sqrt{2}}{2}(y-x)=6-[\frac{\sqrt{2}}{2}(x+y)]$
$y=3\sqrt{2}$
费了一番周折,答案终于出来……

感悟:
这时候读者明白我为什么要强调读完这篇文章的缘故了吧?并不是这篇文章特别地重要,只是如果一旦读到一半,就把公式或者方法抄了去,以后用的时候发现总是出错,那时候就不好了^_^。 为什么我一开始要把读者们都引入一个“陷阱”呢?其实我相信这样的错误很多人都犯过,这篇文章描述了BoJone对这个问题的整个思考过程,从思考、错误到修正错误,错误的根源在于“想当然”、“应该是”之类的想法。要是无法冲破这个牢笼,就难以在数学、物理领域前进。这篇文章既是让自己引以为鉴,也希望读者们不要“覆前人之车”。记住:数理没有想当然!


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