昨天在浏览网页的时候,发现了一道有趣的方程:
$$x^{x^{x^{\dots}}}=2$$
各位读者先别急着往下看,不妨自己求解一下?

其实说来也简单,$x^{x^{x^{\dots}}}=2$括号里面的数也就是2,于是原方程变为$x^2 =2$,从而$x=\sqrt{2}$。

简单不?^_^不过等等,还没有完呢!现在请你解这道方程:$x^{x^{x^{\dots}}}=4$
好,马上按着原来的方法去做,你会发现同样有:$x=\sqrt{2}$。
这就“丈二的和尚——摸不着头脑”了,究竟$\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\dots}}}$是等于2还是等于4?

其实这个数应该是等于2的。用一个很不严谨的方法来看一看:在为了求出这个数的上界(这个词貌似用的不太合适),$\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\dots}}}} \leq \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\dots^2}}}=2$,于是$\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\dots}}}$不可能大于2的。

看来一旦涉及到了无穷,什么诡异的事情都有可能发生了。连这样基本的方法都能产生出“增根”哎…

另外读者不妨用上面的方法尝试求一下$2^{2^{2^{\dots}}}$:令$2^{2^{2^{\dots}}}=k$,则$2^k =k$,这道方程居然无解!!!——慢着,其实有一个解:$k\to\infty$,也就是说$2^{2^{2^{...}}}$发散。

那么收敛的条件是什么呢?由上面的方法不难得出:当$x=\sqrt[n]{n}$时$f(x)$可以取到确定的值(但不一定等于n)这也就是收敛的条件。$\sqrt[n]{n}$在n=2时取到最大值。于是$x^{x^{x^{\dots}}}$收敛的范围是$x \in [0,\sqrt{2}]$


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