众所周知,要掌握黎曼几何,需要强烈的几何直观感。但除此之外,用分量语言描述的黎曼几何,也需要很好的分析能力才能梳理清楚,因为有$N$多的指标在表示着分量和求和,咋看上去处处皆指标。这种繁琐的分量语言并不总讨人喜欢,甚至在不少地方是声名狼籍的。

在分量的语言中,我们本质上可以在局部建立任意形式的坐标系,也就是采用任意形式的基底$\{\boldsymbol{e}_{\mu}\}$,或者说自然标架。但不可否认,在正交标架(标准正交基)之下,很多方程会简单不少,并且得益于我们对欧氏空间的熟练,我们对正交标架下的研究可能会更有感觉。因此,如果条件允许的话,我们应当使用正交标架$\{\hat{\boldsymbol{e}}_{\mu}\}$,哪怕是活动的,这里我们用$\hat{}$标记正交标架。

比如,我们有微元
$$d\boldsymbol{r} = \boldsymbol{e}_{\mu}dx^{\mu} \tag{12} $$
是在一般标架下测量的,那么就可以得到黎曼度量
$$ds^2 = \langle d\boldsymbol{r}, d\boldsymbol{r}\rangle= g_{\mu\nu}dx^{\mu} dx^{\nu} \tag{13} $$
其中
$$g_{\mu\nu} = \langle \boldsymbol{e}_{\mu}, \boldsymbol{e}_{\nu}\rangle \tag{14} $$
也许是一个带有复杂函数的矩阵。我们把黎曼度量写成矩阵形式
$$g_{\mu\nu}dx^{\mu} dx^{\nu}=d\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{g}d\boldsymbol{x} \tag{15} $$
然后试图做这样的分解
$$\boldsymbol{g}=\boldsymbol{h}^T \boldsymbol{\eta}\boldsymbol{h} \tag{16} $$
$\boldsymbol{h},\boldsymbol{\eta}$都是跟$\boldsymbol{g}$同一形状的矩阵,那么
$$ds^2 = (\boldsymbol{h}d\boldsymbol{x})^T\boldsymbol{\eta}(\boldsymbol{h}d\boldsymbol{x}) \tag{17} $$
写成分量语言是
$$ds^2 = \eta_{\mu\nu}(h_{\alpha}^{\mu} dx^{\alpha} )(h_{\beta}^{\nu} dx^{\beta}) \tag{18} $$
我们记
$$\omega^{\mu} = h_{\alpha}^{\mu} dx^{\alpha} \tag{19} $$
事实上$h_{\alpha}^{\mu}$就是一个变换矩阵,将原来的任意标架$\{\boldsymbol{e}_{\mu}\}$变换到了(活动)正交标架$\{\hat{\boldsymbol{e}}_{\mu}\}$,即
$$\hat{\boldsymbol{e}}_{\mu} = \boldsymbol{e}_{\alpha}(h^{-1})^{\alpha}_{\mu} , \quad \boldsymbol{e}_{\mu} = \hat{\boldsymbol{e}}_{\alpha} h^{\alpha}_{\mu} \tag{20} $$
此时我们有
$$d\boldsymbol{r} = \boldsymbol{e}_{\mu} dx^{\mu} =\hat{\boldsymbol{e}}_{\mu} \omega^{\mu} \tag{21} $$
这表明正交标架中的$\omega^{\mu}$相当于一般标架中的$dx^{\mu}$,以及
$$ds^2 = \eta_{\mu\nu} \omega^{\mu} \omega^{\nu} \tag{22} $$

上式表明正交标架有助于简化黎曼度量,现在度规张量是更为简单的$\eta_{\mu\nu}$。需要指出的是,理想的分解是$\boldsymbol{\eta}$为单位阵,但我们如果考虑一般的黎曼度量(尤其是广义相对论中的),并且仅限于实数范围内的话,这个理想并不一定能够达到,比如简单的$\boldsymbol{g}=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$就做不到,因此我们只希望$\boldsymbol{\eta}$尽可能简单,比如说是常数对角矩阵,但不要求它一定是单位阵。这样的分解总是可以做到的,尤其是在很多实用的情形下,$\boldsymbol{g}$一个对角阵,这时候就相当容易实现了。因此,这里假设$\eta_{\mu\nu}$是一个对角矩阵,其对角元素是1或-1。

接着我们写出
$$ds^2 = \langle d\boldsymbol{r},d\boldsymbol{r}\rangle=\langle \hat{\boldsymbol{e}}_{\mu},\hat{\boldsymbol{e}}_{\nu}\rangle \omega^{\mu}\omega^{\nu} \tag{23} $$
也就是
$$\eta_{\mu\nu} = \langle \hat{\boldsymbol{e}}_{\mu},\hat{\boldsymbol{e}}_{\nu}\rangle \tag{24} $$
这里$\hat{\boldsymbol{e}}$就是在上式意义下的“正交标架”了。


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