内积与外积

向量(这里暂时指的是二维或者三维空间中的向量)的强大之处,在于它定义了内积和外积(更多时候称为叉积、向量积等),它们都是两个向量之间的运算,其中,内积被定义为是对称的,而外积则被定义为反对称的,它们都满足分配律。

沿着书本的传统,我们用$\langle,\rangle$表示内积,用$\land$表示外积,对于外积,更多的时候是用$\times$,但为了不至于出现太多的符号,我们统一使用$\land$。我们将向量用基的形式写出来,比如
$$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{e}_{\mu}A^{\mu} \tag{1} $$
其中$\boldsymbol{e}_{\mu}$代表着一组基,而$A^{\mu}$则是向量的分量。我们来计算两个向量$\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}$的内积和外积,即
$$\begin{aligned}&\langle \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}\rangle=\langle \boldsymbol{e}_{\mu}A^{\mu}, \boldsymbol{e}_{\nu}B^{\nu}\rangle=\langle\boldsymbol{e}_{\mu},\boldsymbol{e}_{\nu}\rangle A^{\mu}A^{\nu}\\
&\boldsymbol{A}\land \boldsymbol{B}=(\boldsymbol{e}_{\mu}A^{\mu})\land (\boldsymbol{e}_{\nu}B^{\nu})=\boldsymbol{e}_{\mu}\land\boldsymbol{e}_{\nu} A^{\mu}A^{\nu}
\end{aligned} \tag{2} $$

然后呢?没有然后了,因为我们还没给$\langle\boldsymbol{e}_{\mu},\boldsymbol{e}_{\nu}\rangle$和$\boldsymbol{e}_{\mu}\land\boldsymbol{e}_{\nu}$下定义。在解析几何中,我们是这样定义内积的,设$\boldsymbol{e}_{\mu}$是一组标准正交基,那么
$$\langle\boldsymbol{e}_{\mu},\boldsymbol{e}_{\nu}\rangle=\delta_{\mu\nu} \tag{3} $$
当$\mu=\nu$时,$\delta_{\mu\nu}=1$,否则为0。这样,我们就可以对任意两个向量计算它们的内积了,并且有了这个定义,内积成为了判断垂直的工具(两个向量内积为0),也成为了计算模长的工具(向量与它自身做内积)。

再来看外积,在二维空间中,外积是这样定义的,设$\boldsymbol{e}_{\mu}$是一组标准正交基,那么
$$\boldsymbol{e}_1\land\boldsymbol{e}_2=1 \tag{4} $$
注意由反对称性,我们可以得到$\boldsymbol{e}_1\land\boldsymbol{e}_1=\boldsymbol{e}_2\land\boldsymbol{e}_2=0, \boldsymbol{e}_2\land\boldsymbol{e}_1=-1$,因此这样定义已经完整了。此时可以算得
$$\boldsymbol{A}\land \boldsymbol{B}=A^1 B^2 - A^2 B^1 \tag{5} $$
这时候的内积是一个数,其绝对值正是$\boldsymbol{A}$和$\boldsymbol{B}$所张成的平行四边形的面积。

而在三维空间中,则定义
$$\boldsymbol{e}_1\land\boldsymbol{e}_2=\boldsymbol{e}_3,\boldsymbol{e}_2\land\boldsymbol{e}_3=\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_3\land\boldsymbol{e}_1=\boldsymbol{e}_2 \tag{6} $$
这样定义后,三维空间中的内积就是一个向量了,它与原来的两个向量垂直,并且模长等于原来两向量张成的平行四边形的面积。

回顾整个过程,我们可以这样理解,内积和外积本来就是纯粹代数定义的对称和反对称运算,至于几何意义,则是取决于基的内积和外积确定下来后,进一步赋予的。当然,内外积的定义有一定的历史渊源,但由于它本身并不算困难,因此我们忽略对它历史的研究了。可以看到,对于内积,其定义明显地可以推广到高维空间,而外积则不然。不管怎么样,我们可以清楚这一思路:纯粹代数定义(主要是定义基的内外积)——寻求几何意义——反观历史渊源

反对称的威力

从我们学算数开始,我们接触的运算基本都是对称的,即满足$ab=ba$的运算,数的加法、乘法都是这样,到了高中,学了向量的内积,还是这样。因为高中其实讲向量外积的学校并不多,所以很多同学直到大学才接触到不可交换(即$ab\neq ba$)的运算,比如矩阵乘法。在所有非交换运算中,反对称运算是比较特殊而且内涵相当丰富的一种。不仅如此,它还带来了运算的方便。比如下面的例子。

考虑质点在固定的引力中心中运动的问题,那么我们有运动方程
$$\ddot{\boldsymbol{x}}=-\frac{\mu\boldsymbol{x}}{|\boldsymbol{x}|^3} \tag{7} $$
两边以$\boldsymbol{x}$外积,即
$$\boldsymbol{x}\land \ddot{\boldsymbol{x}}=-\boldsymbol{x}\land \frac{\mu\boldsymbol{x}}{|\boldsymbol{x}|^3}=0 \tag{8} $$
留意到
$$\frac{d}{dt}(\boldsymbol{x}\land \dot{\boldsymbol{x}}) = \dot{\boldsymbol{x}}\land \dot{\boldsymbol{x}}+\boldsymbol{x}\land \ddot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{x}\land \ddot{\boldsymbol{x}} \tag{9} $$
所以上式意味着
$$\frac{d}{dt}(\boldsymbol{x}\land \dot{\boldsymbol{x}})=0 \tag{10} $$
那么
$$\boldsymbol{x}\land \dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{C} \tag{11} $$
这事实上就是角动量守恒,由于是矢量方程,因此如果用分量形式写出来就是三个方程。这样我们通过简单几个步骤,就得到了三个积分常数。反思根源,就是外积的反对称性$a\land b = -b\land a$决定了$a\land a=0$。这是任何反对称量的性质,也是反对称的威力,它自然地消去了很多本该为0的部分。


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