写在前面

在《理解黎曼几何》系列,笔者分享了一些黎曼几何的“几何”心得,同时遗留了一个问题:怎么真正地去算黎曼张量?MTW的《引力论》中提到了一种基于外微分的方法,可是我不熟悉外微分,遂学习了一番。确实,是《引力论》中快捷计算曲率张量的步骤让笔者决定深入了解外微分的。果然,可观的效益是第一推动力。

这系列文章主要分享一些外微分的学习心得,曾经过多次修改和完善,包含的内容很多,比如外积、活动标架、外微分及其在黎曼几何的一些应用等,最后包括一种计算曲率的有效方式

符号说明:在本系列中,用粗体的字母表示向量、矩阵以及基底,用普通字母来表示标量,它有可能是一个标量函数,也有可能是向量的分量,如无说明,则用$n$表示空间(流形)的维度。本文中同样使用了爱因斯坦求和法则,即相同的上下指标表示$1\sim n$遍历求和,即$\alpha_{\mu}\beta^{\mu}=\sum_{\mu=1}^{n} \alpha_{\mu}\beta^{\mu}$,习惯上将下标写在前面,比如$\alpha_{\mu}\beta^{\mu}$事实上跟$\beta^{\mu}\alpha_{\mu}$等价,但习惯写成前者。常用的一些记号是:$\mu,\nu$表示分量指标,$x^{\mu}$表示点的坐标分量,$dx^{\mu}$表示切向量(微元)的分量,$\alpha,\beta,\omega$等希腊字母也常用来表示微分形式。符号的使用有重复的地方,但符号的意义基本都在符号出现的附近有说明,因此应该不至于混淆。

最后,就是笔者其实对外微分还不是特别有感觉,因此文章中可能出现谬误之处,请读者见谅并指出。本系列命名为“外微分浅谈”,不是谦虚,确实是很浅,认识得浅,说的也很浅~

向量的启发

从我们高中时学习了向量这一概念开始,向量就包含着两种运算方法,一种是建立坐标系,然后用坐标来运算,另外一种是直接用向量的法则运算。为了应付高考中的立体几何,学生们联系得比较多的是建立坐标系来运算,也就是分量语言。但事实上分量语言有时候妨碍了我们对向量作为“客观实体”的认识,而且分量语言并不一定都很简单。比如,考虑下面简单的题目:

设$\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}$是两个模长相等的向量,证明$\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}$垂直于$\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$。

这道题目标准的答案应该是$(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B})\cdot (\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}) = \boldsymbol{A}^2 - \boldsymbol{B}^2 = 0$,所以得到$\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}$垂直于$\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$。相信没有人愿意建立坐标系,然后给出每个分量后再运算。而且,这个结论是对任意维空间都成立的,而一旦建立了坐标系,事实上意味着就固定了空间的维数,将一般的结论特殊化了。也就是说,这里存在一种纯粹向量的形式语言,对描述和运算“客观实体”的向量有着独特的优势。

注:本文和《理解黎曼几何》系列的向量,用张量的语言来看,都是逆变向量。事实上,我认为协变和逆变的概念是没有必要的,真正的向量都是逆变的,而所谓协变向量只是纯粹定义出来的。从几何的角度来看,没有逆变和协变的概念,照样可以顺利完成所需要做的事情,我们不需要知道一个量是协变还是逆变的,只需要判断它是不是几何量就可以了。这样的做法可能在推导某些代数式子时会比较艰难,但在理解上更为深刻。


转载到请包括本文地址:http://spaces.ac.cn/archives/4051/

如果您觉得本文还不错,欢迎点击下面的按钮对博主进行打赏。打赏并非要从中获得收益,而是希望知道有多少人曾在科学空间驻足。当然,如果你无视它,也不会影响你的阅读。再次表示欢迎和感谢!