现在我们来关注黎曼曲率。总的来说,黎曼曲率提供了一种方案,让身处空间内部的人也能计算自身所处空间的弯曲程度。俗话说,“不识庐山真面目,只缘身在此山中”,还有“当局者迷,旁观者清”,等等,因此,能够身处空间之中而发现空间中的弯曲与否,是一件很了不起的事情,就好像我们已经超越了我们现有的空间,到了更高维的空间去“居高临下”那样。真可谓“心有多远,路就有多远,世界就有多远”。

如果站在更高维空间的角度看,就容易发现空间的弯曲。比如弯曲空间中有一条测地线,从更高维的空间看,它就是一条曲线,可以计算曲率等,但是在原来的空间看,它就是直的,测地线就是直线概念的一般化,因此不可能通过这种途径发现空间的弯曲性,必须有一些迂回的途径。可能一下子不容易想到,但是各种途径都殊途同归后,就感觉它是显然的了。

怎么更好地导出黎曼曲率来,使得它能够明显地反映出弯曲空间跟平直空间的本质区别呢?为此笔者思考了很长时间,看了不少参考书(《引力与时空》、《场论》、《引力论》等),比较了几种导出黎曼曲率的方式,简要叙述如下。

求导顺序不能乱了

一般的张量分析或者黎曼几何教材中,导出黎曼曲率的方式是考虑二阶协变导数顺序的差别:
$$A^{\mu}_{;\alpha;\beta}-A^{\mu}_{;\beta;\alpha}=-R^{\mu}_{\nu\alpha\beta}A^{\nu} \tag{40} $$
由此可以分离出黎曼曲率张量$R^{\mu}_{\nu\alpha\beta}$来,这确实是一种爽快的途径,但它的几何意义并不明显,很难看出它是怎么反映空间是曲还是直的。而且我们现在还没有定义二阶协变导数(一次协变导数后有两个指标,即相当于一个矩阵而不是向量了,定义高阶协变导数需要细节上的跟进),而这个定义基本上是纯粹代数演算,目前对我们来说意义不大,因此我们这里不作定义,读者直接参考教材即可,所以我们也不对这种方案多作讨论。

在弯曲空间邂逅

此外,还有通过测地线偏离(在广义相对论中对应于潮汐力)来导出黎曼曲率的,那也算是一种几何意义和物理意义都很明确的方案,但是涉及到的计算比较繁琐。主要思路是:考虑测地线方程
$$\frac{d^2 x^{\mu} }{ds^2}+\Gamma_{\alpha\beta}^{\mu}(x) \frac{d x^{\alpha} }{ds}\frac{d x^{\beta} }{ds}=0 \tag{41} $$
假设有另一条测地线$x(s)+\delta x(s)$,那么它满足方程
$$\frac{d^2 (x^{\mu} + \delta x^{\mu}) }{ds^2}+\Gamma_{\alpha\beta}^{\mu}(x+\delta x) \frac{d (x^{\alpha}+\delta x^{\alpha}) }{ds}\frac{d (x^{\beta}+\delta x^{\beta}) }{ds}=0 \tag{42} $$
假设$\delta x$和$d\delta x/ds$都是无穷小量,两式作差,得到
$$\frac{d^2 \delta x^{\mu}}{ds^2}+\frac{\partial \Gamma_{\alpha\beta}^{\mu}}{\partial x^{\nu}}\delta x^{\nu} \frac{d x^{\alpha} }{ds}\frac{d x^{\beta}}{ds}+2\Gamma_{\alpha\beta}^{\mu}\frac{d \delta x^{\alpha} }{ds}\frac{d x^{\beta}}{ds}=0 \tag{43} $$
其中$\delta x$就被称为测地线偏离,在黎曼几何中,称之为“雅可比向量场”。上述形式已经足够简单,然而,我们倾向于写成协变导数的形式,因为协变导数才是在弯曲空间中合理的导数,前面我们已经定义了沿测地线的导数$\frac{DA^{\mu}}{Ds}$,重复一次,我们就能够得到沿测地线的二阶导数$\frac{D^2 A^{\mu}}{Ds^2}=\frac{D}{Ds}\left(\frac{DA^{\mu}}{Ds}\right)$,这是容易办到的,但因为我们这里不是特别关心这种方案,因此就不写出$\frac{D^2 A^{\mu}}{Ds^2}$的具体形式了,读者可以自己推导。经过计算后,就会发现
$$\frac{D^2 \delta x^{\mu}}{Ds^2}=-R^{\mu}_{\nu\alpha\beta}\delta x^{\alpha}\frac{dx^{\nu}}{ds}\frac{dx^{\beta}}{ds} \tag{44} $$
这就出现了曲率张量$R^{\mu}_{\nu\alpha\beta}$。从数学来看,非零的$R^{\mu}_{\nu\alpha\beta}$实际上表明了测地线分布的不均匀,这就是弯曲空间的体现之一。

这种方案让笔者想起了几米的漫画作品《向左走·向右走》,说的是男女主角一个习惯向左走,一个习惯向右走,于是他们两个看起来永远不会相遇。但有一天他们在圆形喷水池相遇了——在圆的一端背向行走,最终在圆的另一端相遇了。而在弯曲空间中,比如在球面上,即便两条平行线也有相交的机会。这其实表明,“弯曲”其实更为深刻和有趣,它给予了我们世界更多的可能性。

“溜达”回来的变化

最后还有一种分析向量沿着闭合曲线平移后的变化的方案,我们在这里详细分析它。事实上它跟测地线偏离是等价的,只是它的几何意义更加明显,有助于导出更为深刻的结果。它表明,如果一个向量“溜达”一圈回来之后,它就不一定是原来的向量了。下图的例子就清晰表明了这一点。

平行移动.gif

假设$x^{\mu}$处有任意一个向量$A^{\mu}$,从$x^{\mu}$出发,先平移无穷小量$dx^{\mu}$,再平移无穷小量$\delta x^{\mu}$,然后再平移无穷小量$-dx^{\mu}$,最后平移无穷小量$-\delta x^{\mu}$,也就是沿着一个无穷小的平行四边形走了一圈,回到原点:
$$x^{\mu}\to x^{\mu}+dx^{\mu}\to x^{\mu}+dx^{\mu}+\delta x^{\mu}\to x^{\mu}+\delta x^{\mu}\to x^{\mu}$$

平行移动.jpg

我们逐步计算平移过程中$A^{\mu}$的变化,从$x^{\mu}$到$x^{\mu}+dx^{\mu}$,$A^{\mu}$变为
$$A^{\mu}-\Gamma^{\mu}_{\alpha\beta}(x) A^{\alpha}dx^{\beta} \tag{45} $$
接着从$x^{\mu}+dx^{\mu}$到$x^{\mu}+dx^{\mu}+\delta x^{\mu}$,$A^{\mu}$变为
$$\begin{aligned}&A^{\mu}-\Gamma^{\mu}_{\alpha\beta}(x) A^{\alpha}dx^{\beta}-\Gamma^{\mu}_{\nu\gamma}(x+dx) \left[A^{\nu}-\Gamma^{\nu}_{\alpha\beta}(x) A^{\alpha}dx^{\beta}\right]\delta x^{\gamma}\\
=&A^{\mu}-\Gamma^{\mu}_{\alpha\beta}(x) A^{\alpha}dx^{\beta}-\Gamma^{\mu}_{\nu\gamma}(x) A^{\nu} \delta x^{\gamma} \\
&\quad- \frac{\partial \Gamma^{\mu}_{\nu\gamma}(x)}{\partial x^{\beta}} A^{\nu} dx^{\beta} \delta x^{\gamma} + \Gamma^{\mu}_{\nu\gamma}(x) \Gamma^{\nu}_{\alpha\beta}(x) A^{\alpha} dx^{\beta}\delta x^{\gamma}
\end{aligned} \tag{46} $$
这里我们只精确到二阶项。

类似地,如果考虑路径$x^{\mu}\to x^{\mu}+\delta x^{\mu}\to x^{\mu}+dx^{\mu}+\delta x^{\mu}$所带来的变化,则只需要将$dx$和$\delta x$交换
$$\begin{aligned}&A^{\mu}-\Gamma^{\mu}_{\alpha\beta}(x) A^{\alpha}\delta x^{\beta}-\Gamma^{\mu}_{\nu\gamma}(x) A^{\nu} d x^{\gamma} \\
&\quad- \frac{\partial \Gamma^{\mu}_{\nu\gamma}(x)}{\partial x^{\beta}} A^{\nu} \delta x^{\beta} d x^{\gamma} + \Gamma^{\mu}_{\nu\gamma}(x) \Gamma^{\nu}_{\alpha\beta}(x) A^{\alpha} \delta x^{\beta} d x^{\gamma}\end{aligned} \tag{47} $$
那么很自然地,路径$x^{\mu}+dx^{\mu}+\delta x^{\mu}\to x^{\mu}+\delta x^{\mu}\to x^{\mu}$所造成的变化就是上式的相反数。于是,整条闭合路径$x^{\mu}\to x^{\mu}+dx^{\mu}\to x^{\mu}+dx^{\mu}+\delta x^{\mu}\to x^{\mu}+\delta x^{\mu}\to x^{\mu}$所带来的变化就是两式之差。调整一下求和指标,然后作差,不难得到
$$\label{bihelujingbianhua}\begin{aligned}\Delta A^{\mu} =&-\left(\frac{\partial \Gamma^{\mu}_{\alpha\gamma}}{\partial x^{\beta}}-\frac{\partial \Gamma^{\mu}_{\alpha\beta}}{\partial x^{\gamma}}+\Gamma^{\mu}_{\nu\beta}\Gamma^{\nu}_{\alpha\gamma}-\Gamma^{\mu}_{\nu\gamma}\Gamma^{\nu}_{\alpha\beta}\right)A^{\alpha} dx^{\beta}\delta x^{\gamma}\\
=&-R^{\mu}_{\alpha\beta\gamma} A^{\alpha} dx^{\beta}\delta x^{\gamma}\end{aligned} \tag{48} $$
这里
$$R^{\mu}_{\alpha\beta\gamma}=\frac{\partial \Gamma^{\mu}_{\alpha\gamma}}{\partial x^{\beta}}-\frac{\partial \Gamma^{\mu}_{\alpha\beta}}{\partial x^{\gamma}}+\Gamma^{\mu}_{\nu\beta}\Gamma^{\nu}_{\alpha\gamma}-\Gamma^{\mu}_{\nu\gamma}\Gamma^{\nu}_{\alpha\beta} \tag{49} $$
就是黎曼曲率张量的定义式了,它有4个指标,是一个非常“宏伟”的量。

一句话来说

三种不同的黎曼曲率张量的导出方式,分别从三个角度表明了弯曲空间与平直空间的区别:平直空间中,协变导数的次序是可以交换的,弯曲空间则不是;平直空间中,测地线分布的均匀的、线性的,弯曲空间则不是;平直空间中,一个向量去“溜达”一圈回来之后,并没有变化,而弯曲空间中,向量去“溜达”完之后,可能就不是原来的向量了。


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