最近一直在考虑一些自然语言处理问题和一些非线性分析问题,无暇总结发文,在此表示抱歉。本文要说的是对于一阶非线性差分方程(当然高阶也可以类似地做)的一种摄动格式,理论上来说,本方法可以得到任意一阶非线性差分方程的显式渐近解。

非线性差分方程

对于一般的一阶非线性差分方程
\begin{equation}\label{chafenfangcheng}x_{n+1}-x_n = f(x_n)\end{equation}
通常来说,差分方程很少有解析解,因此要通过渐近分析等手段来分析非线性差分方程的性质。很多时候,我们首先会考虑将差分替换为求导,得到微分方程
\begin{equation}\label{weifenfangcheng}\frac{dx}{dn}=f(x)\end{equation}
作为差分方程$\eqref{chafenfangcheng}$的近似。其中的原因,除了微分方程有比较简单的显式解之外,另一重要原因是微分方程$\eqref{weifenfangcheng}$近似保留了差分方程$\eqref{chafenfangcheng}$的一些比较重要的性质,如渐近性。例如,考虑离散的阻滞增长模型:
\begin{equation}\label{zuzhizengzhang}x_{n+1}=(1+\alpha)x_n -\beta x_n^2\end{equation}
对应的微分方程为(差分替换为求导):
\begin{equation}\frac{dx}{dn}=\alpha x -\beta x^2\end{equation}
此方程解得
\begin{equation}x_n = \frac{\alpha}{\beta+c e^{-\alpha n}}\end{equation}
其中$c$是任意常数。上述结果已经大概给出了原差分方程$\eqref{zuzhizengzhang}$的解的变化趋势,并且成功给出了最终的渐近极限$x_n \to \frac{\alpha}{\beta}$。下图是当$\alpha=\beta=1$且$c=1$(即$x_0=\frac{1}{2}$)时,微分方程的解与差分方程的解的值比较。
差分方程的摄动法1.png
现在的问题是,既然微分方程的解可以作为一个形态良好的近似解了,那么是否可以在微分方程的解的基础上,进一步加入修正项提高精度?

一般格式

我们引入参数$q$,考虑更一般的差分方程
\begin{equation}\label{yibanchafenfangcheng}x_{n+q}-x_n = q f(x_n)\end{equation}
当$q=1$时正是我们考虑的差分方程$\eqref{chafenfangcheng}$,而当$q\to 0$时则是微分方程
\begin{equation}\frac{dx}{dn}=f(x)\end{equation}
要注意,我们引入了$q$,因此$x_n$的具体形式跟$q$有关,换言之,$x_n$实际上也是$q$的函数,我们显式地写为$x_{n,q}$,即
\begin{equation}\label{yibanchafenfangcheng2}x_{n+q,q}-x_{n,q}=qf(x_{n,q})\end{equation}
而我们最终要关心的是$x_n\equiv x_{n,1}$。为了逐步求解该方程,我们设想能够将$x_{n,q}$展开为$q$的幂级数
\begin{equation}x_{n,q}=\sum_{k=0}^{\infty}a^{(k)}_n q^n\end{equation}
其中
\begin{equation}a_n^{(k)} = \frac{1}{k!}\left.\frac{\partial^k x_{n,q}}{\partial q^k}\right|_{q=0},\quad k=0,1,2,\dots\end{equation}
现在的问题是各$a_n^{(k)}$的求法。

逐步展开

在$\eqref{yibanchafenfangcheng2}$式两边对$q$求导(对$q$的全导数),得到
\begin{equation}\label{qiudao}\frac{\partial x_{n+q,q}}{\partial n}+\frac{\partial x_{n+q,q}}{\partial q}-\frac{\partial x_{n,q}}{\partial q}=f(x_{n,q})+q\frac{\partial f}{\partial x_{n,q}}\frac{\partial x_{n,q}}{\partial q}\end{equation}
要说明的是,当我们写出
\begin{equation}\frac{\partial x_{n+q,q}}{\partial q}\end{equation}
时,默认只对第二个变量$q$求导,而不对第一个变量$n+q$中的$q$求导。现在取$q=0$,则
\begin{equation}\label{qiudao-q-0}\frac{\partial x_{n,0}}{\partial n}=f(x_{n,0})\end{equation}
这正好是作为首次近似的微分方程$\eqref{weifenfangcheng}$。

接着,对$\eqref{qiudao}$再次求$q$的导数
\begin{equation}\label{qiudao2}\begin{aligned}&\frac{\partial^2 x_{n+q,q}}{\partial n^2}+2\frac{\partial^2 x_{n+q,q}}{\partial n \partial q}+\frac{\partial^2 x_{n+q,q}}{\partial q^2}-\frac{\partial^2 x_{n,q}}{\partial q^2}\\
=&2\frac{\partial f}{\partial x_{n,q}}\frac{\partial x_{n,q}}{\partial q}+q\frac{\partial^2 f}{\partial x_{n,q}^2}\left(\frac{\partial x_{n,q}}{\partial q}\right)^2+q\frac{\partial f}{\partial x_{n,q}}\frac{\partial^2 x_{n,q}}{\partial q^2}\end{aligned}\end{equation}
让$q=0$,得到
\begin{equation}\label{qiudao2-q-0}\frac{\partial^2 x_{n,0}}{\partial n^2}+2\frac{\partial}{\partial n}\left(\frac{\partial x_{n,0}}{\partial q}\right)=2\frac{\partial f}{\partial x_{n,0}}\frac{\partial x_{n,0}}{\partial q}\end{equation}
其中$\frac{\partial^2 x_{n,0}}{\partial n^2}$项可以代入上一步得到的$x_{n,0}$进行计算,因此这是关于$\frac{\partial x_{n,0}}{\partial q}$的一阶线性微分方程,也是可解的。这个过程可以一直做下去,逐步提高精度。后面的形式太烦,就不写出来了,可以用mathematica来做。

离散阻滞增长模型

还是具体的例子会比较容易说清楚过程。仍然考虑组织增长模型$\eqref{zuzhizengzhang}$,引入参数$q$后,方程写为
\begin{equation}x_{n+q,q}-x_{n,q}=q\alpha x_{n,q}-q\beta x_{n,q}^2\end{equation}
这里$f(x)=\alpha x - \beta x^2$,对应的$\eqref{qiudao-q-0}$式为
\begin{equation}\frac{\partial x_{n,0}}{\partial n}=\alpha x_{n,0}-\beta x_{n,0}^2\end{equation}
解已经求出,是
\begin{equation}x_{n,0}=\frac{\alpha}{\beta+c e^{-\alpha n}}\end{equation}
这是零阶近似。相应地,对应的$\eqref{qiudao2-q-0}$式为
\begin{equation}\frac{\partial^2 x_{n,0}}{\partial n^2}+2\frac{\partial}{\partial n}\left(\frac{\partial x_{n,0}}{\partial q}\right)=2(\alpha-2\beta x_{n,0})\frac{\partial x_{n,0}}{\partial q}\end{equation}
解是(我是用mathematica求的,经过人工整理,这里已经让$\frac{\partial x_{0,0}}{\partial q}=0$)
\begin{equation}\frac{\partial x_{n,0}}{\partial q}=\left(\frac{\alpha}{\beta+ce^{-\alpha n}}\right)^2\left(\frac{1}{2}\alpha n-\ln \frac{\beta+c}{\beta+ce^{-\alpha n}}\right)ce^{-\alpha n}\end{equation}
因此有
\begin{equation}x_{n,q}\approx \frac{\alpha}{\beta+c e^{-\alpha n}}+q\left(\frac{\alpha}{\beta+ce^{-\alpha n}}\right)^2\left(\frac{1}{2}\alpha n-\ln \frac{\beta+c}{\beta+ce^{-\alpha n}}\right)ce^{-\alpha n}\end{equation}
以及
\begin{equation}x_n\equiv x_{n,1}\approx \frac{\alpha}{\beta+c e^{-\alpha n}}+\left(\frac{\alpha}{\beta+ce^{-\alpha n}}\right)^2\left(\frac{1}{2}\alpha n-\ln \frac{\beta+c}{\beta+ce^{-\alpha n}}\right)ce^{-\alpha n}\end{equation}
这是它的一阶近似。下图是当$\alpha=\beta=1$且$c=1$(即$x_0=\frac{1}{2}$)时,上述零阶和一阶近似解与精确值的比较。可以看到,相比于零阶近似,一阶近似几乎与精确值重合了。
差分方程的摄动法2.png
从这个例子也可以看出摄动法的特点,虽然可以继续做下去,且每一步都是可积的,但是积分可能有用过于复杂而难以使用。

一点说明

理论上来说,这种摄动格式可以求任意一阶差分方程的近似解。当然,在真正应用中是否真的如此实用,还得具体问题具体分析。

首先,如果作为零阶项的微分方程(非线性的)的解过于复杂,那这种方法就很难进行下去了;其次,虽然每一步都只是产生了一个理论可解的一阶非齐次线性微分方程,但这个微分方程的解也不是一个简单的事情,往往多做一步耗费的时间和精力都是加倍的。

最后,要注意,引入参数的格式并不仅仅是$\eqref{yibanchafenfangcheng2}$那样的,还可以根据具体问题做简化,比如文章《一个非线性差分方程的隐函数解》中的例子
\begin{equation}x_{n+1}=x_n+3+\frac{3}{x_n}+\frac{1}{x_n^2},\,x_1=1\end{equation}
引入参数的方式可以是
\begin{equation}x_{n+q,q}=x_{n,q}+3+\frac{3q}{x_{n,q}}+\frac{q^2}{x_{n,q}^2},\,x_1=1\end{equation}
这样会得到与文章《一个非线性差分方程的隐函数解》中的一样的渐近解。这体现了摄动法的本质,就是通过参数$q$来辨明每一项的阶,从而能够逐级进行近似。而以什么为阶,跟以什么为参数一样,很大程度上都是人为的。


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